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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 8
Lição 2: Conectando as funções de posição, velocidade e aceleração usando integrais- Problemas de movimento com integrais: deslocamento x distância
- Análise de problemas de movimento: posição
- Análise de problemas de movimento: distância total percorrida
- Problemas de movimento (com integrais definidas)
- Análise de problemas de movimento (cálculo integral)
- Exemplo resolvido: problemas de movimento (com integrais definidas)
- Problemas de movimento (com integrais)
- Aceleração média ao longo de um intervalo
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Exemplo resolvido: problemas de movimento (com integrais definidas)
O que você pode dizer sobre a velocidade e posição de uma partícula dada sua aceleração. Versão original criada por Sal Khan.
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- uma caixa contendo mantimentos , com massa total de 80kg, e solta de um aviao de ajuda comunitaria. considere que o coeficiente de atrito seja de 8kg/s. A aceleração da gravidade local vale aproximadamente 10m/s². Deteermine a equação da velocidade V da caixa em função do tempo T
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Transcrição de vídeo
[RKA20C] Vamos supor que você tenha
uma função da posição de um determinado móvel
em função do tempo. Esse móvel está variando sua posição em função do tempo. Se você derivar essa função
em relação ao tempo, você vai ter a taxa de variação
dessa posição. Não importa de onde ele partiu. Se ele partiu do quilômetro 0,
do 25 ou do 77. Por isso que, quando derivamos, a parte constante desaparece, pois aqui queremos saber
a taxa da variação da posição. Então, ao sabermos a taxa
da variação da posição, vamos ter ds/dt, ou seja, como a posição
está variando com o tempo. E chamamos isso de velocidade
ou velocidade em função do tempo. Agora, temos a velocidade
em função do tempo. Se derivarmos novamente,
vamos ter uma outra função. Vamos supor que este móvel
tinha uma velocidade em um determinado instante, e essa velocidade não vai mudar
naquele determinado instante. No instante 0, por exemplo, ele tinha uma determinada velocidade,
essa velocidade não muda. Como queremos agora
saber a taxa da variação da velocidade pelo tempo, ou seja, estamos derivando
a velocidade pelo tempo, vamos achar o que vamos
chamar de aceleração, ou seja, a variação da velocidade pelo tempo... A taxa da variação da velocidade
pelo tempo é o que chamamos de aceleração em função do tempo. Então, temos a aceleração em
função do tempo e, obviamente, uma velocidade de que ele partiu é uma velocidade que não vai mudar. Portanto, ela desaparece
quando derivamos. Se quisermos fazer
o procedimento oposto, o que devemos fazer? Se temos a aceleração do móvel, podemos pegar e fazer
o que chamamos de antiderivada ou integral indefinida. Ao fazermos essa integral
ou antiderivada da aceleração pelo tempo, ou seja, a aceleração
em função do tempo, vamos encontrar
a função velocidade, ou seja, aqui temos o procedimento inverso: quando derivamos a velocidade
e achamos a aceleração, agora temos a aceleração, e fazemos a antiderivada
para achar a função velocidade. Se quisermos achar a posição
em função do tempo, podemos aplicar novamente
a antiderivada. A antiderivada da velocidade
em função do tempo vai nos dar a posição dele
em função do tempo. Quando derivamos, as partes
constantes desapareceram. Obviamente, quando
fizermos a antiderivada, vai aparecer uma parte constante. Então, para que possamos identificar e dar um exemplo mais claro, vamos atribuir alguns valores
a determinados instantes. A aceleração não é necessária porque a aceleração é de onde
a gente vai partir. Vamos supor que ele tenha
uma aceleração de 1 m/s², ou seja... A aceleração é a variação
da velocidade pelo tempo, velocidade é metros por segundo, e o tempo é dado em segundos: quero saber quantos metros por segundo
por segundo ele está variando,
por isso que fica m/s². Vamos supor também que,
no instante 3, a velocidade dele seja de -3m/s. Esse é um valor que vamos precisar ter para que possamos fazer
a nossa função velocidade, uma vez que vamos encontrar
uma determinada constante e precisamos saber o valor
dessa constante. E vamos supor também
que a posição dele em 2s seja igual a -10m. Pronto! Então, ao integrarmos a nossa aceleração,
vamos ter a velocidade. Então, pegamos a velocidade, v(t): vai ser a integral da aceleração, a(t)dt. Ora, a antiderivada de 1, ou seja... A aceleração aqui é uma constante, a antiderivada de 1dt vai nos dar
t mais uma constante. Para completar essa equação, vamos utilizar o dado,
ou seja, v(t) = t + c. O v(3) é igual a... O t é 3, mais c, que foi dado igual a -3. Ou seja, a nossa constante vai ser -6m/s. Então, a nossa equação geral
fica v(t) = t - 6, e temos agora a velocidade
em função do tempo. Agora, vamos ver a posição
em função do tempo. Para acharmos a posição
em função do tempo, vamos integrar ou tirar
a antiderivada da velocidade. Portanto, temos que a posição
em função do tempo vai ser a antiderivada,
ou a integral indefinida, de v(t)dt. Isso vai ser igual
à integral de t - 6dt, o que vai dar... Aqui temos t²/2 - 6t mais uma constante. Bem, vamos ver que constante é essa. No instante 2s,
temos que t = 2, portanto, fica:
2²/2 - 6 vezes 2 + c. E sabemos que
tudo isso vale -10, portanto, vamos ter
4/2 - 12 + c = -10. 4/2 é 2, menos 12 é -10. Simplificando com -10,
vamos ter o neutro da adição, ou seja, a nossa constante é 0 e a nossa função geral da posição fica sendo S(t) = t²/2 - 6t.