Exemplo resolvido: problemas de movimento (com integrais definidas)

[RKA20C] Vamos supor que você tenha uma função da posição de um determinado móvel em função do tempo. Esse móvel está variando sua posição em função do tempo. Se você derivar essa função em relação ao tempo, você vai ter a taxa de variação dessa posição. Não importa de onde ele partiu. Se ele partiu do quilômetro 0, do 25 ou do 77. Por isso que, quando derivamos, a parte constante desaparece, pois aqui queremos saber a taxa da variação da posição. Então, ao sabermos a taxa da variação da posição, vamos ter ds/dt, ou seja, como a posição está variando com o tempo. E chamamos isso de velocidade ou velocidade em função do tempo. Agora, temos a velocidade em função do tempo. Se derivarmos novamente, vamos ter uma outra função. Vamos supor que este móvel tinha uma velocidade em um determinado instante, e essa velocidade não vai mudar naquele determinado instante. No instante 0, por exemplo, ele tinha uma determinada velocidade, essa velocidade não muda. Como queremos agora saber a taxa da variação da velocidade pelo tempo, ou seja, estamos derivando a velocidade pelo tempo, vamos achar o que vamos chamar de aceleração, ou seja, a variação da velocidade pelo tempo... A taxa da variação da velocidade pelo tempo é o que chamamos de aceleração em função do tempo. Então, temos a aceleração em função do tempo e, obviamente, uma velocidade de que ele partiu é uma velocidade que não vai mudar. Portanto, ela desaparece quando derivamos. Se quisermos fazer o procedimento oposto, o que devemos fazer? Se temos a aceleração do móvel, podemos pegar e fazer o que chamamos de antiderivada ou integral indefinida. Ao fazermos essa integral ou antiderivada da aceleração pelo tempo, ou seja, a aceleração em função do tempo, vamos encontrar a função velocidade, ou seja, aqui temos o procedimento inverso: quando derivamos a velocidade e achamos a aceleração, agora temos a aceleração, e fazemos a antiderivada para achar a função velocidade. Se quisermos achar a posição em função do tempo, podemos aplicar novamente a antiderivada. A antiderivada da velocidade em função do tempo vai nos dar a posição dele em função do tempo. Quando derivamos, as partes constantes desapareceram. Obviamente, quando fizermos a antiderivada, vai aparecer uma parte constante. Então, para que possamos identificar e dar um exemplo mais claro, vamos atribuir alguns valores a determinados instantes. A aceleração não é necessária porque a aceleração é de onde a gente vai partir. Vamos supor que ele tenha uma aceleração de 1 m/s², ou seja... A aceleração é a variação da velocidade pelo tempo, velocidade é metros por segundo, e o tempo é dado em segundos: quero saber quantos metros por segundo por segundo ele está variando, por isso que fica m/s². Vamos supor também que, no instante 3, a velocidade dele seja de -3m/s. Esse é um valor que vamos precisar ter para que possamos fazer a nossa função velocidade, uma vez que vamos encontrar uma determinada constante e precisamos saber o valor dessa constante. E vamos supor também que a posição dele em 2s seja igual a -10m. Pronto! Então, ao integrarmos a nossa aceleração, vamos ter a velocidade. Então, pegamos a velocidade, v(t): vai ser a integral da aceleração, a(t)dt. Ora, a antiderivada de 1, ou seja... A aceleração aqui é uma constante, a antiderivada de 1dt vai nos dar t mais uma constante. Para completar essa equação, vamos utilizar o dado, ou seja, v(t) = t + c. O v(3) é igual a... O t é 3, mais c, que foi dado igual a -3. Ou seja, a nossa constante vai ser -6m/s. Então, a nossa equação geral fica v(t) = t - 6, e temos agora a velocidade em função do tempo. Agora, vamos ver a posição em função do tempo. Para acharmos a posição em função do tempo, vamos integrar ou tirar a antiderivada da velocidade. Portanto, temos que a posição em função do tempo vai ser a antiderivada, ou a integral indefinida, de v(t)dt. Isso vai ser igual à integral de t - 6dt, o que vai dar... Aqui temos t²/2 - 6t mais uma constante. Bem, vamos ver que constante é essa. No instante 2s, temos que t = 2, portanto, fica: 2²/2 - 6 vezes 2 + c. E sabemos que tudo isso vale -10, portanto, vamos ter 4/2 - 12 + c = -10. 4/2 é 2, menos 12 é -10. Simplificando com -10, vamos ter o neutro da adição, ou seja, a nossa constante é 0 e a nossa função geral da posição fica sendo S(t) = t²/2 - 6t.