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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 8
Lição 2: Conectando as funções de posição, velocidade e aceleração usando integrais- Problemas de movimento com integrais: deslocamento x distância
- Análise de problemas de movimento: posição
- Análise de problemas de movimento: distância total percorrida
- Problemas de movimento (com integrais definidas)
- Análise de problemas de movimento (cálculo integral)
- Exemplo resolvido: problemas de movimento (com integrais definidas)
- Problemas de movimento (com integrais)
- Aceleração média ao longo de um intervalo
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Problemas de movimento com integrais: deslocamento x distância
A integral definida de uma função de velocidade nos dá o deslocamento. Para encontrar a distância real percorrida, precisamos usar a função da velocidade escalar, que é o valor absoluto da velocidade vetorial.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal.
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer um exercício e vamos ver qual é a diferença
entre deslocamento e distância. E, para isso, vamos pensar em um
objeto viajando em uma dimensão. Com isso em mente, vamos pensar na ideia de deslocamento. Geralmente, você utiliza
esta palavra no seu cotidiano. Mas você sabe o que significa? Significa, literalmente,
mudança na posição. E uma coisa que geralmente
nós confundimos com deslocamento é a distância percorrida. Mas, espera aí, você está dizendo
que deslocamento é diferente de distância percorrida? Sim, é diferente. A distância percorrida é
o comprimento total do caminho. E para entender isso, vamos relembrar algumas
coisas importantes do cálculo. Digamos que nós temos aqui
uma função de velocidade de uma partícula. Então, vamos dizer que a nossa
função velocidade em função do tempo é igual a 5 - t. E esta é uma função unidimensional. Por exemplo, digamos que ela
esteja na direção horizontal. E quando isso acontece, algumas pessoas esquecem que esta função velocidade
é uma função vetorial. Isso porque se essa
velocidade for positiva, você está se movendo para a direita, mas, se a velocidade for negativa, você está se movendo para a esquerda. Portanto, tem uma direção. E, por causa disso, nós colocamos
uma flecha aqui em cima deste "v" indicando que esta função velocidade
é uma função vetorial. Agora, vamos representar
graficamente esta função velocidade. E aqui nós temos o gráfico
da nossa função velocidade, quando "t = 0" a nossa velocidade é de 5 m/s. Claro, eu não coloquei aqui, mas temos metros por segundo aqui
e aqui o tempo em segundos. Então, exatamente em "t = 0", o objeto está viajando a 5 m/s. E como esta velocidade é positiva, o objeto está se movimentando
para a direita. Mas observe que ele começa a decrescer
a uma taxa de variação constante. E em t = 5, a partícula
não tem velocidade. E a partir daqui, o objeto vai se movendo
com uma velocidade negativa, o que está indicando que ele
está se movimentando para a esquerda. Ok, sabendo disso, vamos pensar em algumas coisas. Vamos pensar em qual é o deslocamento
nos primeiros 5 segundos. Nós já vimos diversas vezes que se você quiser encontrar
a mudança na quantidade, você pode obter a integral
da função de taxa desta quantidade. A velocidade é a taxa de deslocamento. Portanto, para saber o deslocamento
nos primeiros 5 segundos, nós podemos pegar a integral
de zero até 5 da função velocidade v(t) dt Isso vai ser a mesma coisa que
calcular a área deste triângulo. E, claro, nós podemos pensar
nisso aqui geometricamente. Como calculamos a área de um triângulo? Simples, nós pegamos a base, multiplicamos pela altura
e dividimos por 2. E a base deste triângulo é 5. E 5 vezes 5 dá 25,
dividido por 2 é igual a 12,5. E, claro, aqui tem metros
por segundo, vezes segundo. E que quando multiplicarmos, vamos ficar somente com metros. Então, esta aqui é
a mudança de posição da nossa partícula nos
primeiros 5 segundos. Isso significa que eu comecei aqui
e vou caminhar 12,5 metros para a direita. Agora, qual é o deslocamento
nos primeiros 10 segundos? Eu sugiro que você pause o vídeo
e tente resolver isso sozinho. Nós devemos pensar da mesma maneira, só que agora pegamos
a integral de zero até 10 da função velocidade v(t) dt. Isso seria a mesma coisa
que pegar esta área e somar com esta área aqui. E sabe qual é o interessante? No mundo das integrais definidas, quando você está pegando uma
curva abaixo do eixo "x", esta área vai ser negativa. O que significa que se somarmos
esta área com esta, o resultado vai ser igual a zero. Então, esta integral
é igual a zero metro. E você pode até ficar
com dúvida, não é? Como isto pode acontecer? Como este deslocamento
pode ser zero? Você está dizendo que
a partícula não se movimentou? Simples, nos primeiros 5 segundos a partícula está se movimentando
para direita 12,5 metros, e de 5 segundos até 10 segundos a partícula está se movimentando
os mesmos 12,5 metros. Mas, desta vez, para a esquerda,
retornando à posição inicial. Portanto, a sua mudança de posição, o seu deslocamento, vai ser zero metro. É aqui que você começa
a notar a diferença entre deslocamento
e distância percorrida. A distância percorrida
é o comprimento total do caminho. O que significa que você não se preocupa
tanto com a direção. E para calcular esta distância percorrida, nós vamos olhar a sua velocidade escalar. Ou seja, o módulo desta função velocidade. É como se fosse a magnitude
da função velocidade. Mas como ficaria o gráfico desta função? Ficaria deste jeito. Portanto, para descobrir
a distância percorrida, nós devemos calcular
a integral desta função. E é o que nós temos neste gráfico. Ou seja, a área deste gráfico
no intervalo de zero a 10. Primeiro, nós calcularíamos
a distância percorrida nos primeiros 5 segundos, que é a mesma coisa que calcular
a integral de zero até 5 do módulo da função velocidade v(t) dt. Isso é a mesma coisa
que calcular esta área, que nós já sabemos que é 12,5 metros. E observe que, nos primeiros 5 segundos, a distância percorrida
e o deslocamento são iguais. E isso acontece porque, neste caso, a função velocidade é positiva
nos dois casos. Agora, se você pensar
na distância percorrida nos primeiros 10 segundos, o que vai ser? Eu sugiro que você pause o vídeo
e tente responder isso sozinho. Isto vai ser a mesma coisa que a integral de zero até 10 do módulo da função velocidade v(t) dt. E que é a mesma coisa que pegar esta área e somar com esta área,
que vai dar 12,5 metros mais 12,5 metros,
que é igual a 25 metros. O deslocamento foi zero, mas a distância percorrida
foi de 25 metros. Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!