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Cálculo Avançado BC

Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 8

Lição 3: Usando funções de acumulação e integrais definidas em contextos aplicados

Análise de problemas com integrais definidas

A interpretação de integrais definidas como um acúmulo de grandezas pode ser usada para resolver vários problemas do mundo real.

Problemas de acumulação (ou variação líquida) são aqueles nos quais temos a taxa de variação de uma grandeza e temos que calcular o valor da grandeza acumulada ao longo do tempo. Esses problemas são resolvidos usando integrais definidas. Vamos ver como isso é feito.

Problemas de acumulação são resolvidos usando integrais definidas

Imagine que temos as seguintes informações:

A temperatura de uma sopa está aumentando a uma taxa de $r (t) = 30 e^{- 0, 3 t}$ ‍ graus Celsius por minuto (em que $t$ ‍ é o tempo em minutos). No instante $t = 0$ ‍, a temperatura da sopa é de $23$ ‍ graus Celsius.

Imagine que nos peçam para calcular quanto a temperatura aumentou entre $t = 0$ ‍ e $t = 5$ ‍ minutos. Isso é um problema de acumulação (ou de variação líquida). Nós podemos afirmar isso devido ao fato de que nos deram a função que representa a taxa de variação de uma grandeza e nos perguntaram sobre a variação dessa grandeza em um intervalo de tempo.

Para qualquer grandeza cuja taxa é dada pela função

r

, a integral definida

\int_{a}^{b} r (t) d t

descreve quanto a grandeza mudou entre

t = a

t = b

Então, em nosso caso, a mudança de temperatura entre

t = 0

t = 5

minutos é dada por

\int_{0}^{5} r (t) d t

\int_{0}^{5} r (t) d t \approx 77, 7

graus Celsius

[Mostrar cálculo.]

Agora imagine que nos pediram para resolver um problema diferente: Qual é a temperatura da sopa em $t = 5$ ‍ minutos? Observe que estamos lidando com um valor atual. Mas não tenha medo, pois integrais definidas podem nos ajudar com esse problema também! Tudo o que precisamos é adicionar a condição inicial.

Lembre-se que nos deram a temperatura da sopa no instante

t = 0

, que era de

23

graus Celsius. Somando isso à mudança de temperatura entre

t = 0

t = 5

, temos a temperatura em

t = 5

\underset{temperatura em t = 0}{\underset{⏟}{23}} + \overset{mudança de temperatura de t = 0 a t = 5}{\overset{⏞}{\int_{0}^{5} r (t) d t}}

Como já calculamos

\int_{0}^{5} r (t) d t

, podemos dizer que em

t = 5

minutos, a temperatura era de

23 + 77, 7 = 100, 7

graus Celsius. Isso está fervendo!

Problema 1

Considere o problema a seguir:

A população de uma cidade cresce a uma taxa de $r (t) = 300 \cdot e^{0, 3 t}$ ‍ pessoas por ano (em que $t$ ‍ é o tempo em anos). No instante $t = 2$ ‍, a população da cidade era de $1.200$ ‍ pessoas. Qual será a população da cidade em $t = 7$ ‍?

Qual expressão pode ser usada para resolver esse problema?

Erro comum: uso incorreto das condições iniciais

Alguns problemas de acumulação nos perguntam sobre a variação líquida e outros nos perguntam sobre o valor atual. A diferença é que, quando estamos buscando um valor atual, precisamos usar as condições iniciais.

Um erro comum é usar as condições iniciais quando nos perguntaram sobre a variação líquida, ou não usar as condições iniciais quando nos perguntaram sobre um valor atual.

Erro comum: usar derivadas em vez de integrais

Problemas de aplicação prática são comuns tanto no cálculo diferencial quanto no cálculo integral. Quando temos um problema, precisamos decidir se sua solução deve envolver derivadas ou integrais. A decisão errada, é claro, nos levará à resposta errada.

Derivadas são úteis quando temos uma determinada grandeza e nos perguntam sobre sua taxa, enquanto integrais são úteis quando nos dão uma taxa e nos perguntam sobre a grandeza.

	O que temos?	O que falta?	O que usar?
Cálculo diferencial	Grandeza	Taxa	Derivada
Cálculo integral	Taxa	Grandeza (ou mudança na grandeza)	Integral

Problema 2

Considere o problema a seguir:

A profundidade da água em um tanque está mudando a uma taxa de $r (t) = 0, 3 t$ ‍ centímetros por minuto (em que $t$ ‍ é o tempo em minutos). No instante $t = 0$ ‍, a profundidade da água era de $35$ ‍ centímetros. Qual é a mudança na profundidade da água no quarto minuto?

Qual expressão pode ser usada para resolver esse problema?

Erro comum: escolha do intervalo de integração errado

Como você acabou de ver, escolher o intervalo de integração correto é crucial para obter a resposta correta. Certifique-se de que não está escolhendo os pontos extremos errados, especialmente o ponto inicial, que geralmente é ignorado.

Quer praticar mais? Tente este exercício.

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