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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 8
Lição 3: Usando funções de acumulação e integrais definidas em contextos aplicados- A área sob uma função de taxa nos dá a variação líquida
- Interpretação de integrais definidas como uma variação líquida
- Exemplos resolvidos: interpretação de integrais definidas em contexto
- Como interpretar integrais definidas em um contexto
- Análise de problemas com integrais definidas
- Análise de problemas com integrais definidas
- Análise de problemas com integrais definidas
- Exemplo resolvido: problema envolvendo uma integral definida (algébrico)
- Problemas envolvendo integrais definidas (algébricos)
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Análise de problemas com integrais definidas
A interpretação de integrais definidas como um acúmulo de grandezas pode ser usada para resolver vários problemas do mundo real.
Problemas de acumulação (ou variação líquida) são aqueles nos quais temos a taxa de variação de uma grandeza e temos que calcular o valor da grandeza acumulada ao longo do tempo. Esses problemas são resolvidos usando integrais definidas. Vamos ver como isso é feito.
Problemas de acumulação são resolvidos usando integrais definidas
Imagine que temos as seguintes informações:
A temperatura de uma sopa está aumentando a uma taxa de r, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 30, e, start superscript, minus, 0, comma, 3, t, end superscript graus Celsius por minuto (em que t é o tempo em minutos). No instante t, equals, 0, a temperatura da sopa é de 23 graus Celsius.
Imagine que nos peçam para calcular quanto a temperatura aumentou entre t, equals, 0 e t, equals, 5 minutos. Isso é um problema de acumulação (ou de variação líquida). Nós podemos afirmar isso devido ao fato de que nos deram a função que representa a taxa de variação de uma grandeza e nos perguntaram sobre a variação dessa grandeza em um intervalo de tempo.
Para qualquer grandeza cuja taxa é dada pela função r, a integral definida integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t descreve quanto a grandeza mudou entre t, equals, a e t, equals, b.
Então, em nosso caso, a mudança de temperatura entre t, equals, 0 e t, equals, 5 minutos é dada por integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t.
integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 77, comma, 7 graus Celsius
Agora imagine que nos pediram para resolver um problema diferente: Qual é a temperatura da sopa em t, equals, 5 minutos? Observe que estamos lidando com um valor atual. Mas não tenha medo, pois integrais definidas podem nos ajudar com esse problema também! Tudo o que precisamos é adicionar a condição inicial.
Lembre-se que nos deram a temperatura da sopa no instante t, equals, 0, que era de 23 graus Celsius. Somando isso à mudança de temperatura entre t, equals, 0 e t, equals, 5, temos a temperatura em t, equals, 5:
Como já calculamos integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, podemos dizer que em t, equals, 5 minutos, a temperatura era de 23, plus, 77, comma, 7, equals, 100, comma, 7 graus Celsius. Isso está fervendo!
Erro comum: uso incorreto das condições iniciais
Alguns problemas de acumulação nos perguntam sobre a variação líquida e outros nos perguntam sobre o valor atual. A diferença é que, quando estamos buscando um valor atual, precisamos usar as condições iniciais.
Um erro comum é usar as condições iniciais quando nos perguntaram sobre a variação líquida, ou não usar as condições iniciais quando nos perguntaram sobre um valor atual.
Erro comum: usar derivadas em vez de integrais
Problemas de aplicação prática são comuns tanto no cálculo diferencial quanto no cálculo integral. Quando temos um problema, precisamos decidir se sua solução deve envolver derivadas ou integrais. A decisão errada, é claro, nos levará à resposta errada.
Derivadas são úteis quando temos uma determinada grandeza e nos perguntam sobre sua taxa, enquanto integrais são úteis quando nos dão uma taxa e nos perguntam sobre a grandeza.
| O que temos? | O que falta? | O que usar? | |
|---|---|---|---|
| Cálculo diferencial | Grandeza | Taxa | Derivada |
| Cálculo integral | Taxa | Grandeza (ou mudança na grandeza) | Integral |
Erro comum: escolha do intervalo de integração errado
Como você acabou de ver, escolher o intervalo de integração correto é crucial para obter a resposta correta. Certifique-se de que não está escolhendo os pontos extremos errados, especialmente o ponto inicial, que geralmente é ignorado.
Quer praticar mais? Tente este exercício.
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