A área sob uma função de taxa nos dá a variação líquida

RKA1JV - Vamos imaginar que nós temos uma partícula se movimentando ao longo de uma trajetória com uma velocidade igual a 5 metros por segundo. Nós vamos ter aqui uma partícula se movimentando com essa velocidade aqui, velocidade em relação ao tempo, sendo igual a 5 metros por segundo. Se essa velocidade for positiva, significa que a partícula está indo para a direita. Caso a velocidade fosse negativa, significaria que a partícula estaria indo para a esquerda. Mas nós temos uma velocidade positiva aqui. A velocidade, na verdade, está indicando para a gente uma taxa de variação de alguma coisa sobre alguma outra coisa. Neste caso aqui, é a taxa de variação da distância em relação à variação de tempo. Nós poderíamos dizer que essa velocidade corresponde à variação da distância. Ou seja, Δd em relação ao intervalo de tempo, que é Δt. Supondo agora que a gente saiba dessa velocidade, a gente queira determinar a variação da distância. Ou seja, a distância percorrida por essa partícula em relação ao intervalo de tempo igual a 4 segunds. Quando a gente diz que a gente tem uma variação de tempo em 4 segundos, a gente poderia ter, por exemplo, um intervalo de tempo passando de um tempo igual a zero até um instante de tempo igual a 4 segundos. Isso é o que indica para a gente essa variação de tempo. Lembrando que, como já falei, a velocidade de uma partícula vai ser igual à taxa de variação da distância que, nesse caso, é Δd em relação ao tempo Δt. Vai ser Δd sobre Δt. Nós vamos ter Δd sobre Δt. Sabendo que a gente já tem a velocidade e um intervalo de tempo, e a gente queira determinar essa variação de distância, ou seja, o Δd, basta a gente multiplicar a velocidade pelo intervalo de tempo. Assim, a gente vai ter, que Δd é a distância percorrida pela partícula desde o instante de tempo igual a zero até um instante de tempo igual a 4 segundos. Vai ser igual a velocidade dessa partícula vezes o intervalo de tempo Δt. Como a gente já conhece a velocidade e o intervalo de tempo, basta substituir os valores aqui. Assim, a gente vai ter uma velocidade que é igual a 5 metros por segundo. Talvez a gente até coloque 5 metros por segundo, vezes o intervalo de tempo que é 4 segundos. Isso vai ser igual a 5 vezes 4, é igual a 20. Mas 20 o quê? A gente tem esse segundo aqui no denominador e esse segundo no numerador. A gente corta esse com esse, ficando apenas com o metro. A gente vai ter uma distância percorrida por essa partícula ao longo desses 4 segundos sendo igual a 20 metros. Essa é uma forma de determinar essa distância, essa variação da distância desses 4 segundos. Mas a gente também poderia fazer isso de uma forma gráfica. Como? Plotando um gráfico da velocidade em relação ao tempo. A gente teria, no eixo "y", a velocidade medida em metros por segundo, claro. Aqui, no eixo "x", a gente teria o nosso tempo, medido em segundos. A gente teria aqui alguns instantes de tempo, por exemplo, tempo zero, tempo 1, tempo 2 tempo 3, tempo 4, tempo 5 e assim sucessivamente. E aqui a gente teria as velocidades 1, 2, 3, 4, 5. Como a velocidade dessa partícula é constante ao longo desses 4 segundos, a gente teria uma reta horizontal desse jeito. Já que a velocidade é constante. Ao longo de todo esse intervalo de tempo, a velocidade não está mudando. Isso é indica para a gente essa velocidade em relação ao tempo. Essa é a função da velocidade em relação ao tempo. Como nós queremos saber a distância percorrida por essa partícula ao longo desses 4 segundos, a gente teria aqui 1, 2, 3, 4, teria apenas isso aqui, essa reta indicando esse tempo igual a 4 segundos. Para determinar essa distância aqui agora, bastaria apenas calcular a área abaixo dessa curva neste intervalo de tempo, indo de zero a 4 segundos. A gente vem aqui e calcula a área abaixo dessa curva e qual seria a área abaixo dessa curva? Aqui, nós temos um retângulo. E como a gente consegue determinar a área de um retângulo? Multiplicando o comprimento da base com o comprimento da altura. Assim, a gente teria 4 vezes 5, que é igual a 20. A gente teria 20 que corresponde aqui para a gente a distância percorrida, ou seja, o Δd realizado, percorrido por essa partícula ao longo desses 4 segundos. Note que isso serve para qualquer função que a gente tiver uma taxa de variação. Todas as vezes que a gente tem um gráfico que representa essa taxa de variação em relação ao tempo, para determinar essa variação aqui percorrida ou realizada, basta calcular a área abaixo da curva nesse intervalo considerado. Agora vamos supor que a gente tem um outro caso, vamos supor que a velocidade de uma partícula em relação ao tempo seja igual a 1 metro por segundo no intervalo de tempo indo de zero, menor ou igual ao tempo, que é menor ou igual a 2. 2 segundos, nesse caso. E essa velocidade vai ser igual a 2 metros por segundo em qualquer tempo que seja maior que 2 segundos. A gente pode utilizar esses dados e calcular a distância percorrida por uma partícula ao longo de um intervalo de tempo também utilizando um método gráfico. Vamos supor que a gente queira determinar a distância percorrida por essa partícula em um intervalo de tempo que vai do tempo igual a zero até um tempo igual a 5 segundos. Vamos, novamente, traçar aqui o nosso gráfico. Isso dá a velocidade. Novamente, essa velocidade está medida em metros por segundo. E, aqui na horizontal, o nosso tempo, nosso eixo do tempo, a gente tem aqui o 1, 2, 3, 4, 5 e 6. E a gente quer calcular aqui, determinar a distância percorrida por essa partícula desde o tempo igual a zero até o tempo igual a 5. Como a gente tem duas velocidades aqui, a gente pode dividir a resolução desse problema em duas partes. Inicialmente, a gente vai calcular a distância nesse intervalo de tempo, indo de zero a 2. E depois do tempo igual a 2 até 5 segundos. Vamos demarcar aqui também, que a gente tem uma velocidade igual a 1 e aqui uma velocidade igual a 2. A gente sabe que, no intervalo de tempo, indo de zero até 2, a nossa velocidade é igual a 1 metro por segundo. A gente vem traça aqui a reta que representa a função da velocidade nesse intervalo de tempo. Sabendo que aqui a gente tem um intervalo fechado, já que o tempo é menor ou igual a 2. E calcula a área abaixo dessa curva. Como a gente consegue determinar dessa curva? Como a gente consegue determinar a área abaixo dessa curva? Novamente, multiplicando o comprimento da base com a altura. Sabendo que aqui vale 1 e aqui vale 2. Aqui a gente tem 2 na base e 1 na altura, 2 vezes 1 é igual a 2. A área abaixo dessa curva aqui é igual a 2. A gente já sabe que de zero a 2 segundos, a partícula percorreu 2 metros. A gente vai fazer o mesmo agora num instante de tempo igual a 2 até o instante de tempo igual a 5. A gente sabe que daqui, no instante de tempo igual a 2 em diante, a velocidade vai ser igual a 2 metros por segundo. Lembrando que aqui é um intervalo aberto. Uma coisa interessante e um comentário que a gente precisa fazer. Para essa partícula mudar instantaneamente, seria necessário que a força aplicada sobre a partícula fosse infinita. Ou que a massa dessa partícula seja infinitamente pequena. Uma coisa que, de fato, não existe na realidade. Isso aqui é só para a gente observar um exemplo matemático. Sabendo que a gente quer a área até o tempo igual a 5, vamos calcular a área aqui abaixo da curva. A gente tem um comprimento de base sendo igual a 3 e aqui a altura sendo igual a 2. 3 vezes 2 é igual a 6. A área aqui é igual a 6, que corresponde à distância percorrida pela partícula do instante de tempo igual a 2 até o instante de tempo igual a 5. Como nós queremos saber a distância total percorrida por essa partícula desde o instante de tempo igual a zero até o instante de tempo igual a 5, basta somar essas duas áreas, 2 mais 6 é igual a 8 metros. Essa aqui é a distância percorrida por essa partícula nesse intervalo de tempo.