A área sob uma função de taxa nos dá a variação líquida

vamos imaginar que nós temos uma partícula se movimentando ao longo de uma trajetória com uma velocidade igual a 5 metros por segundo então nós vamos ter aqui uma parte eu vou se movimentando com essa velocidade que velocidade em relação ao tempo sendo igual a 5 metros por segundo occhi se essa velocidade for positiva significa que a partícula está indo para a direita caso a velocidade fosse negativa significaria que a partícula estaria indo para a esquerda mas nós temos uma velocidade positiva que ok a velocidade na verdade está indicando pra gente uma taxa de variação de alguma coisa sobre alguma outra coisa nesse caso aqui é a taxa de variação da distância em relação à variação de tempo então nós poderíamos dizer que essa velocidade corresponde à variação da distância ou seja delta de em relação ao intervalo de tempo que é delta t supondo agora que a gente saiba dessa velocidade a gente queira determinar a variação da distância ou seja a distância percorrida por essa partícula em relação ao intervalo de tempo igual a quatro segundos quando a gente diz que a gente tem uma variação de tempo em quatro segundos a gente poderia ter por exemplo um intervalo de tempo passando de um tempo igual a zero até um instante de tempo igual a quatro segundos então isso é que indica pra gente essa variação de tempo lembrando que como já falei a velocidade de uma partícula vai ser igual à taxa de variação da distância que nesse caso que é delta de em relação ao tempo delta então vai ser delta de sobre delta t então nós vamos ter delta de sobre delta te sabendo que a gente já tem a velocidade e um intervalo de tempo ea gente queira determinar essa variação de distância ou seja o delta de basta a gente multiplica a velocidade pelo intervalo de tempo assim a gente vai ter que delta de que a distância percorrida pela partícula desde o instante de tempo igual a zero até um instante de tempo ela quatro segundos vai ser igual a velocidade dessa partícula visita o intervalo de tempo delta t como a gente já conhece a velocidade o intervalo de tempo basta substituir os valores aqui assim a gente vai ter uma velocidade que é igual a 5 metros por segundo e tem gente até coloca que cinco metros por segundo vizinhos o intervalo de tempo que é 4 segundos isso vai ser igual a cinco vezes quatro é igual a 20 mas 20 o que bem a gente tem esse segundo aquino denominador e esse segundo numerador a gente corta esse com esse ficando apenas com o metro então a gente vai ter uma distância percorrida por essa partícula ao longo desses quatro segundos sendo igual a 20 metros ok bem essa é uma forma de determinar essa distância que essa variação da distância desses quatro segundos mas a gente também poderia fazer isso de uma forma gráfica como pilotando um gráfico da velocidade em relação ao tempo então a gente teria que no eixo y a velocidade medida em metros por segundo claro e aqui no eixo x agente teria o nosso tempo medido em segundos então a gente teria que alguns instantes de tempo por exemplo tempo 0 tempo 12 tempo três tempo 4 tempo cinco e assim sucessivamente e aqui a gente teria as velocidades 12345 como a velocidade dessa partícula é constante ao longo desses quatro segundos a gente teria que uma reta horizontal desse jeito já que a velocidade é constante então ao longo de todo esse intervalo de tempo a velocidade não está mudando então isso é que indica pra gente essa velocidade em relação ao tempo essa é a função da velocidade em relação ao tempo como nós queremos saber a distância percorrida por essa partícula ao longo desses quatro segundos a gente teria que 1 234 teria apenas isso aqui essa reta que indicando esse tempo igual a quatro segundos para determinar essa distância que agora bastaria apenas calcular a área baixo dessa curva nesse intervalo de tempo no de 0 a 4 segundos então a gente vem aqui e calcula área baixo dessa curva e qual seria a área baixo dessa curva aqui nós temos um retângulo e como é que a gente consegue determinar a área de um retângulo multiplicando o comprimento da base com o comprimento da altura assim a gente teria quatro vezes 5 que é igual a 20 então a gente teria 20 que corresponde aqui pra gente a distância percorrida ou seja o delta de realizado percorrido por essa partícula ao longo desses quatro segundos note que isso é que serve para qualquer função que a gente tiver uma taxa de variação todas as vezes que a gente tem um gráfico que representa essa taxa de variação em relação ao tempo para determinar essa variação aqui percorrida ou realizada basta calcular a área baixo da curva nesse intervalo considerado agora vamos supor que a gente tem um outro caso vamos supor que a velocidade de uma partícula em relação ao tempo seja igual a um metro por segundo no intervalo de tempo indo de zero menor ou igual ao tempo que é menor ou igual a 2 2 segundos nesse caso e que essa velocidade vai ser igual a dois metros por segundo em qualquer tempo que seja maior que 2 segundos a gente pode utilizar esses dados e calculá a distância percorrida por uma partícula longo de um intervalo de tempo também utilizando um método gráfico e vamos supor que a gente queira determinar a distância percorrida por essa partícula em um intervalo de tempo que vai do tempo igual a zero até um tempo igual a 5 segundos vamos novamente traçar aqui o nosso gráfico isso é que dá velocidade novamente essa velocidade está medido em metros por segundo e aqui na horizontal o nosso tempo nosso eixo do tempo a gente tem aqui o 2 3 4 5 e 6 ea gente quer calcular aqui determinar a distância percorrida por essa partícula desde o tempo igual a zero até o tempo igual a 5 como a gente tem duas velocidades aqui a gente pode dividir a resolução desse problema em duas partes inicialmente a gente vai calcular a distância nesse intervalo de tempo indo de 0 a 2 e depois do tempo igual a 2 até cinco segundos então vamos demarcá que também que a gente tem uma velocidade igual a 1 e aqui uma velocidade igual a 2 a gente sabe que no intervalo de tempo indo de 0 até 2 a nossa velocidade é igual a um metro por segundo então a gente vem traça que a reta que representa a função da velocidade nesse intervalo de tempo sabemos que aqui a gente tem um intervalo fechado já que o tempo é menor ou igual a 2 e calcula área baixo dessa curva como é que a gente consegue determinar dessa curva como é que a gente consegue determinar abaixo dessa curva novamente multiplicando o cumprimento da base com a altura sabendo que aqui vale um e aqui vale dois aqui a gente tem dois na base e um na altura 2 vezes um é igual a 2 então a área baixo dessa curva aqui é igual a 2 então a gente já sabe que de zero a dois segundos a partícula percorreu dois metros a gente vai fazer o mesmo agora num instante de tempo igual a 2 até o instante de tempo igual a 5 a gente sabe que daqui no estande de tempo igual a 2 em diante a velocidade vai ser igual a dois metros por segundo lembrando que é o intervalo aberto a uma coisa interessante e um comentário que a gente precisa fazer para essa partícula mudar instantaneamente seria necessário que a força aplicada sobre a partícula força infinita ou que a massa dessa partícula seja infinitamente pequena uma coisa que de fato não existe na realidade está mas isso aqui é só para a gente observar um exemplo matemático sabendo que a gente quer até o tempo igual a 5 vamos calcular e abaixo da curva a gente tem um comprimento de base sendo igual a 3 e àquela altura sendo igual a dois três vezes dois é igual a 6 então a área que é igual a 6 que corresponde a distância percorrida pela partícula do instante de tempo igual a 2 até o instante de tempo igual a 5 como nós queremos saber a distância total percorrida por essa partícula desde o instante de tempo igual a zero até um instante de tempo igual a 5 bastos somar essas duas áreas 2 mais seis é igual a oito metros essa daqui é a distância percorrida por essa partícula nesse intervalo de tempo