Conteúdo principal
Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 8
Lição 3: Usando funções de acumulação e integrais definidas em contextos aplicados- A área sob uma função de taxa nos dá a variação líquida
- Interpretação de integrais definidas como uma variação líquida
- Exemplos resolvidos: interpretação de integrais definidas em contexto
- Como interpretar integrais definidas em um contexto
- Análise de problemas com integrais definidas
- Análise de problemas com integrais definidas
- Análise de problemas com integrais definidas
- Exemplo resolvido: problema envolvendo uma integral definida (algébrico)
- Problemas envolvendo integrais definidas (algébricos)
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Interpretação de integrais definidas como uma variação líquida
A integral definida de uma função de taxa nos dá a variação líquida na grandeza descrita pela taxa. Veja como interpretamos integrais definidas em um contexto do mundo real.
Quer participar da conversa?
- pq o video não esta traduzido?(0 votos)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal.
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer
uma interpretação de integrais definidas como
uma variação líquida. E nos vídeos anteriores,
nós começamos a falar a respeito de variações
e de áreas sob curvas. Então, por exemplo, esta curva aqui
representa, quem sabe, a velocidade de um carro e como ela
está mudando em relação ao tempo. Note que o carro está acelerando
conforme o tempo passa. Quando este tempo é de 1,
a velocidade é de 10 m/s. E quando o tempo é de 5,
a velocidade é de 20 m/s. Ou seja, este tempo aqui
está em segundos. Basicamente, o carro
começa a acelerar aqui, e vai acelerando, acelerando e aumentando cada vez
mais a sua velocidade. E o interessante é que tem uma relação entre a função da taxa
de variação e a área. E esta relação representa
a mudança na distância do carro. Portanto, a velocidade neste caso
é a distância por unidade de tempo. E se conseguirmos descobrir
a área sob esta curva, nós vamos conhecer a mudança
na distância de 1 segundo até 5 segundos. Claro, nós não vamos conhecer
a distância total percorrida, porque nós não conhecemos
o que tem aqui antes de um segundo. Ou seja, nós não vamos conseguir
descobrir esta área aqui, mas vamos conhecer
a área neste intervalo. O que você vai fazendo é construindo
retângulos para achar a área aproximada. Então, vamos dizer que eu construa
um retângulo aqui que vai de 1 segundo até 2 segundos. E como podemos descobrir
a área deste retângulo, e o que ela representa? Para calcular esta área, nós pegamos este 1 segundo,
que é a base do retângulo, e multiplicamos por esta altura,
que é de aproximadamente 10 m/s. E a unidade de medida desta área
vai ser metros por segundos, vezes segundos. E nós sabemos da física que se nós
multiplicarmos o tempo pela velocidade, nós vamos ter a distância. Portanto, a área deste retângulo
vai ser a distância. Portanto, a área deste retângulo representa uma aproximação
da distância percorrida. E se você quiser saber exatamente
qual é a distância percorrida, você deve descobrir exatamente
a área sob esta curva. E como podemos descobri-la? Ou seja, esta área aqui. Simples, utilizando
a definição de integral. Ou seja, esta superfície é a mesma coisa
que a integral de 1 até 5 da função r(t) dt. E, de novo, o que esta
integral representa? Ela representa a mudança
na distância de "t = 1" até "t = 5". E com esta ideia bem definida, vamos resolver o exercício
da Khan Academy. E temos o seguinte aqui,
Elen caminha a uma taxa r(t) km/h, em que "t" representa o tempo em horas. O que a integral de 2 a 3
de r(t) dt = 6 significa? Escolha uma alternativa. E antes de olhar as alternativas, note que esta integral
de 2 a 3 desta função está dizendo que a área
sob a curva é igual a 6. Ou seja, esta função é uma taxa de quantos quilômetros
a Elen caminha a cada hora. Então, basicamente,
de 2 horas até 3 horas, a Elen caminha 6 km. Então, vamos olhar qual destas
alternativas é a correta? Na letra "a", nós temos: a cada hora Elen caminha 6 km. Isso não está correto. O que sabemos é que
de 2 até 3 horas ela caminhou 6 km, mas nós não sabemos
o que acontece antes de 2 horas ou depois de 3 horas. Portanto, esta alternativa está incorreta. Na letra "b", nós temos: a cada 3 horas
Elen caminha 6 km. Aqui, acontece um erro bem comum. Muitas vezes nós pegamos este limite
superior e pensamos o seguinte: Até 3 horas nós vamos ter o total
da distância percorrida até 3 horas. Mas isto é incorreto. Este 6 km representa
a mudança de 2 até 3 horas, e não o total até 3 horas de caminhada. Portanto, esta alternativa "b"
também está incorreta. A alternativa "c" diz o seguinte: Elen caminha 6 km durante a terceira hora. Sim, isto está correto! É disso que estamos falando aqui. Ou seja, de 2 até 3 horas,
Elen caminhou 6 km. Ou seja, ela está passando
de 2 para 3 horas. O que significa que ela está caminhando
6 km durante a terceira hora. Só para ficar claro que
a alternativa "d" está incorreta, nós temos o seguinte aqui. A taxa de Elen aumentou em 6 km/h entre a segunda e a terceira hora. Só para ficar bem claro, estes 6 km não representam uma taxa, representam a área sob uma curva de taxas. Ou seja, este 6 não está falando
nada da nossa mudança na taxa, ele representa uma área. Portanto, esta alternativa "d"
também está incorreta. Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!