Área horizontal entre curvas

RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos estudar área horizontal entre curvas. Para isso, eu tenho esta curva azul, esta curva laranja e esta área aqui entre elas. E a grande diferença aqui é que nós estamos acostumados a ver coisas de "y" em função de "x", mas aqui nós temos "x" em função de "y". E por isso, podemos escrever esta função como f(y). O mesmo acontece com esta função: eu posso reescrevê-la como g(y). Mas, como eu já falei, nesta aula, nossa preocupação vai ser descobrir esta área limitada entre as duas curvas. Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. Ok, a grande diferença aqui é que nós vamos integrar a função em relação a "y". Ou seja, nós vamos utilizar uma integral definida onde os nossos limites estão em termos de "y". Mas o que isso significa? Veja bem: este aqui é o ponto de interseção inferior das duas curvas, este vai ser o nosso limite inferior em termos de "y", que eu posso chamar de y₁, e este é o limite superior, que podemos chamar de y₂. A ideia é simples: você tem que procurar os pontos onde as curvas estão se interceptando e procurar o correspondente "y" desse ponto. Este dois aqui são os limites de integração. Ou seja, vamos ter a integral de y₁: y₁ até y₂, que eu posso colocar aqui. E claro, nós vamos integrar em relação a "y". Por isso, dy aqui. E como podemos calcular esta área? Simples, nós vamos utilizar a soma de retângulos infinitamente pequenos e vamos calcular a área de cada um, sendo que essa altura é dy. Isso porque tem uma altura muito pequena, ou seja, uma diferenciação muito pequena. E qual seria a base desse retângulo? Se você perceber, neste intervalo de y₁ até y₂, a função azul assume valores maiores do que a função laranja. Portanto, esse comprimento vai ser igual a f(y) - g(y). E, como queremos saber a soma desses vários retângulos, nós utilizamos a integral de y₁ até y₂ de f(y) - g(y). Até aqui parece algo simples, porque nós conhecemos f(y) e g(y). A dificuldade maior está em encontrar esses limites de integração. Para descobri-los, nós temos que pensar onde essas curvas se interceptam. Se você perceber, ambas são iguais a "x". Com isso, nós podemos igualar esta equação a esta. Ou seja, podemos colocar -y² + 3y + 11 igual a y² + y - 1. E podemos subtrair ambos os membros desta equação por toda esta expressão, ficando com: -y² + 3y + 11 - y² - y + 1 = 0. E nós podemos ajeitar isso aqui, ficando com: -2y² + 2y + 12 = 0. Observe que todos estes termos são múltiplos de 2. Podemos colocar o -2 em evidência, que multiplica y² - y - 6 = 0. Ou seja, se você multiplicar -2 por isto, vai dar esta expressão. E você pode fatorar esta expressão do segundo grau, ficando com (y - 3) que multiplica (y + 2). E ainda tem um -2 aqui e a expressão tem que ser igual a zero. E, se três coisas estão se multiplicando e o resultado está dando zero, uma delas tem que ser zero. O -2 não é igual a zero. Então, este (y - 3) é igual a zero, ou este (y + 2) é igual a zero. Neste caso, o "y" vai ser igual a 3, enquanto, neste aqui, vai ser igual a -2. É claro, você poderia resolver isto com uma fórmula de resolução de equação do segundo grau, mas assim fica mais fácil, não é? Então, o limite inferior vai ser y = -2 e o limite superior vai ser y = 3. Com isso, nós devemos avaliar a integral de -2 até 3. Vamos fazer isso, então. Deixe-me apagar tudo isto aqui, para ficar melhor de fazer. Isto vai ser igual à integral de -2 até 3 de f(y), que neste caso é -y² + 3y + 11, menos g(y), que é isto aqui. E, como eu vou subtrair, os sinais de todos estes termos vão mudar. Vamos ficar com: -y² - y + 1, dy E isto vai ser igual à integral de -2 até 3 disto aqui, que, se ajeitarmos, vamos ficar com: (-2y² + 2y + 12) dy. E o que temos que fazer agora? Simples: achar a antiderivada disto aqui. Então, vamos ficar com a integral de -2y, que vai ser -2y elevado a (2 + 1), que vai dar y³, dividido por (2 + 1), que dá 3. Integrando isto aqui e simplificando, vamos ficar com y² e somamos isso com a integral de 12, que é a mesma coisa que 12y. E nós podemos avaliar isto no intervalo de -2 até 3. Ou seja, nós vamos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo, que é a mesma coisa que pegar este 3 e substituir aqui, ficando com -2 vezes 3³, que é a mesma coisa que 27, e dividimos isso por 3, somando com 3², que dá 9, mais 12 vezes 3, que dá 36, e subtraímos isto substituindo este -2 aqui no lugar do "y", ficando com -2, que multiplica (-2)³, que dá -8, dividido por 3, mais (-2)², que é igual a 4, menos 24, porque 12 vezes -2 = -24. Se resolvermos isto, este 3 pode ser simplificado com este 27, ficando com 9. E ainda tem o -2 multiplicando aqui, fazendo com que toda esta expressão seja igual a -18. Somamos com 9 + 36, que dá 45, e subtraímos por tudo isto aqui, que vai dar -2 vezes -8 vai dar 16 positivo. Dividido por 3, vamos ficar com 16/3. E +4 - 24 vai ser igual a -20 e -18 + 45 é igual a 27. Menos 16/3 - 20, que, resolvendo, é igual a -44/3. E ainda tem um "menos" aqui. Então, isto vai ser igual a 27 + 44/3. E, se resolvermos isto aqui, vai ser a mesma coisa que 125/3 unidade de área. E claro, ainda podemos transformar isto aqui em uma fração mista, que é a mesma coisa que 41 inteiros e 2/3. Eu espero que esta aula tenha te ajudado e até a próxima, pessoal!