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Volume com seções transversais: introdução

Usando integrais definidas para encontrar o volume de um sólido cuja base é dada como uma região entre funções e cujas seções transversais são quadrados.

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RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos ter uma introdução a como calcular volumes utilizando cortes transversais. Se você chegou até aqui, provavelmente já está familiarizado com a ideia de encontrar a área entre curvas. Se não está, eu sugiro que você dê uma revisada nos conteúdos da Khan Academy. Por exemplo, nós podemos encontrar esta área aqui utilizando uma integral definida. Mas o que vamos fazer nesta aula é algo ainda mais interessante. Ou seja, vamos encontrar volumes de formas onde a base de alguma forma é definida pela área entre duas curvas. Então, deixe-me desenhar isto aqui em três dimensões. Este aqui vai ser o eixo "y", este é o eixo "x", esta é a reta y = 6 e, colocando aqui umas linhas pontilhadas, o x = 2 vai estar aqui. Então, o gráfico de y = 4ln(3 - x) vai ser algo mais ou menos assim. Esta região vai ser esta aqui, que vai ser a base de uma forma tridimensional onde podemos utilizar cortes transversais. Como assim? Se eu fizer um corte transversal aqui, isto vai ser igual a um quadrado. Então, esta seção transversal, este corte aqui, vai ser um quadrado. E esta seção transversal aqui também vai ser um quadrado. Não importa a diferença entre as duas curvas, esta seção transversal também vai ser um quadrado. E, claro, o corte transversal com este comprimento aqui também vai ser um quadrado. A figura é parecida com isto, ela tem três dimensões. E é nesse momento que você vai ver como uma integral definida te ajuda. Basicamente, o que temos que fazer é dividir esta figura em diversos quadrados. Com isso, agora eles vão ter alguma profundidade. A mesma coisa acontece aqui neste quadradinho pequeno. Vamos transformá-lo em um cubo, porque agora ele tem uma profundidade. Você poderia fazer isso com todas as seções transversais, ou seja, você vai colocar profundidade em todos os quadrados da seção transversal. E é uma profundidade tão pequena que nós podemos chamar de dx. E como podemos descobrir qual é o seu volume? Ou seja, qual é o volume deste cubo? Seria a profundidade vezes a área desta superfície aqui. Ou seja, a área desta seção transversal. Vou até colocar isso em outra cor. Qual seria o valor desta área? A área de um quadrado é o seu comprimento ao quadrado. E qual seria o comprimento desta base? Vai ser a diferença entre estas duas funções, ou seja, vai ser 6 menos 4 vezes o logaritmo natural de (3 - x). Esse vai ser o comprimento deste quadrado, mas como queremos saber a área, nós elevamos toda esta expressão ao quadrado. E, para descobrir o volume, nós devemos multiplicar isso pela profundidade. Ou seja, você multiplica por dx e, com isso, você vai ter o volume deste cubo pequeno aqui. E eu acredito que você já sabe onde isso vai dar. O que aconteceria se eu somasse todos os cubos desta figura, de x = 0 até x = 2? Você teria o volume de tudo isto aqui, e é aí que a integral entra. Ou seja, podemos integrar toda esta expressão, de zero até 2. E se você quiser saber onde isso está no gráfico, você vai ver que este cubo está mais ou menos aqui, sendo que aqui está o dx. E, ao invés de multiplicarmos dx pela diferença entre essas duas funções, vamos ajustar o quadrado da diferença entre elas. Isso porque, aqui, estamos visualizando tridimensionalmente. Ou seja, estamos analisando esta superfície de forma tridimensional. E aqui é a altura de um retângulo. Com isso, se você resolver esta integral, você vai ter o volume disto. Ou seja, você vai ter o volume desta figura aqui. Claro, essa integral não é tão fácil de fazer, mas nós podemos utilizar uma calculadora. Então, deixe-me colocá-la aqui e podemos descobrir o valor da integral. Eu clico aqui em "Math", na opção 9, que é integral definida. Eu estou utilizando aqui uma calculadora TI-84 plus. Calculando a integral definida, nós temos que colocar os valores aqui. Então, de zero até 2 e aqui colocamos a expressão. Vou abrir um parêntese aqui. Então, 6 - 4 vezes ln(3 - x). Fecho o parêntese aqui para elevar toda esta expressão ao quadrado. Então, ao quadrado, e integrando em relação a "x". Se eu apertar Enter, isto vai ser aproximadamente 26,27. Aproximadamente 26,27. Então, este volume é de aproximadamente 26,27 unidades de volume. Eu espero que esta aula tenha te ajudado e até a próxima, pessoal!