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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 8
Lição 7: Volumes com seções transversais: quadrados e retângulos- Volume com seções transversais: introdução
- Volume com cortes transversais: quadrados e retângulos (introdução)
- Volume com cortes transversais: quadrados e retângulos (sem gráfico)
- Volume com seções transversais perpendiculares ao eixo y
- Volumes com seções transversais: quadrados e retângulos
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Volume com seções transversais: introdução
Usando integrais definidas para encontrar o volume de um sólido cuja base é dada como uma região entre funções e cujas seções transversais são quadrados.
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Transcrição de vídeo
RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos ter uma introdução a como calcular volumes
utilizando cortes transversais. Se você chegou até aqui,
provavelmente já está familiarizado com a ideia de encontrar
a área entre curvas. Se não está, eu sugiro que você dê uma revisada
nos conteúdos da Khan Academy. Por exemplo, nós podemos encontrar
esta área aqui utilizando uma integral definida. Mas o que vamos fazer nesta aula
é algo ainda mais interessante. Ou seja, vamos encontrar volumes de formas onde a base de alguma forma
é definida pela área entre duas curvas. Então, deixe-me desenhar
isto aqui em três dimensões. Este aqui vai ser o eixo "y", este é o eixo "x", esta é a reta y = 6 e, colocando aqui umas linhas pontilhadas,
o x = 2 vai estar aqui. Então, o gráfico de y = 4ln(3 - x) vai ser algo mais ou menos assim. Esta região vai ser esta aqui, que vai ser a base de uma forma tridimensional onde podemos utilizar cortes transversais. Como assim?
Se eu fizer um corte transversal aqui, isto vai ser igual a um quadrado. Então, esta seção transversal,
este corte aqui, vai ser um quadrado. E esta seção transversal aqui também
vai ser um quadrado. Não importa a diferença
entre as duas curvas, esta seção transversal também
vai ser um quadrado. E, claro, o corte transversal
com este comprimento aqui também vai ser um quadrado. A figura é parecida com isto,
ela tem três dimensões. E é nesse momento que você vai ver
como uma integral definida te ajuda. Basicamente, o que temos que fazer
é dividir esta figura em diversos quadrados. Com isso, agora eles vão ter
alguma profundidade. A mesma coisa acontece aqui
neste quadradinho pequeno. Vamos transformá-lo em um cubo, porque agora ele tem uma profundidade. Você poderia fazer isso com todas
as seções transversais, ou seja, você vai colocar profundidade
em todos os quadrados da seção transversal. E é uma profundidade tão pequena
que nós podemos chamar de dx. E como podemos descobrir
qual é o seu volume? Ou seja, qual é o volume deste cubo? Seria a profundidade vezes
a área desta superfície aqui. Ou seja, a área desta seção transversal. Vou até colocar isso em outra cor. Qual seria o valor desta área? A área de um quadrado
é o seu comprimento ao quadrado. E qual seria o comprimento desta base? Vai ser a diferença entre estas duas funções, ou seja, vai ser 6 menos 4
vezes o logaritmo natural de (3 - x). Esse vai ser o comprimento deste quadrado,
mas como queremos saber a área, nós elevamos toda esta expressão
ao quadrado. E, para descobrir o volume, nós devemos
multiplicar isso pela profundidade. Ou seja, você multiplica por dx e, com isso, você vai ter
o volume deste cubo pequeno aqui. E eu acredito que você já sabe
onde isso vai dar. O que aconteceria se eu somasse
todos os cubos desta figura, de x = 0 até x = 2? Você teria o volume de tudo isto aqui,
e é aí que a integral entra. Ou seja, podemos integrar
toda esta expressão, de zero até 2. E se você quiser saber
onde isso está no gráfico, você vai ver que este cubo
está mais ou menos aqui, sendo que aqui está o dx. E, ao invés de multiplicarmos dx
pela diferença entre essas duas funções, vamos ajustar o quadrado
da diferença entre elas. Isso porque, aqui, estamos visualizando
tridimensionalmente. Ou seja, estamos analisando esta superfície
de forma tridimensional. E aqui é a altura de um retângulo. Com isso, se você resolver esta integral,
você vai ter o volume disto. Ou seja, você vai ter o volume
desta figura aqui. Claro, essa integral
não é tão fácil de fazer, mas nós podemos utilizar uma calculadora. Então, deixe-me colocá-la aqui e podemos descobrir o valor da integral. Eu clico aqui em "Math",
na opção 9, que é integral definida. Eu estou utilizando aqui
uma calculadora TI-84 plus. Calculando a integral definida,
nós temos que colocar os valores aqui. Então, de zero até 2 e aqui colocamos a expressão. Vou abrir um parêntese aqui. Então, 6 - 4 vezes ln(3 - x). Fecho o parêntese aqui para elevar
toda esta expressão ao quadrado. Então, ao quadrado, e integrando em relação a "x". Se eu apertar Enter,
isto vai ser aproximadamente 26,27. Aproximadamente 26,27. Então, este volume é de
aproximadamente 26,27 unidades de volume. Eu espero que esta aula tenha te ajudado
e até a próxima, pessoal!