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Volume com cortes transversais: semicírculo

O volume de um sólido com seções transversais semicirculares e uma base triangular.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Aqui nós temos um gráfico que representa a função x mais y igual a 1. Vamos dizer que a área abaixo desta curva representa a base de uma figura tridimensional, ou seja, nós temos um triângulo bidimensional que corresponde à base de uma figura tridimensional. Vamos supor que a gente pegue um ponto aqui no eixo x, trace uma reta vertical, uma reta que seja paralela ao eixo y e que depois a gente ligue esses dois pontos, o ponto que sai dessa curva até esse outro ponto aqui no eixo x. Se ligasse esse ponto em um terceiro eixo, a gente teria a formação de um semicírculo e se fizesse isso em todos os pontos ao longo dessa curva, a gente teria diversos semicírculos e teria uma figura tridimensional conforme essa outra imagem aqui. Esta imagem a gente está observando de um certo ângulo que dá para observar a figura tridimensional. Eu coloquei o eixo x deste lado e o eixo y desse outro lado. Essa reta que eu tracei aqui corresponde a essa outra reta aqui, em que ligando esses dois pontos nós vamos ter esse semicírculo. Então ligando isso a gente vai ter essa seção transversal que corresponde a esse semicírculo. Se por acaso pegasse aqui uma outra região, uma reta, por exemplo, nesse eixo y, a gente teria essa outra seção transversal aqui formando esse outro semicírculo. Você pode observar que a gente começou a formar uma figura tridimensional com um certo volume, certo? Então vou pedir agora que você pause este vídeo e tente a partir dessas informações encontrar o volume dessa figura que a gente começou a traçar. Conseguiu fazer? Conseguiu determinar o volume dessa figura? Um bom caminho para começar a fazer isso é observar diversos semicírculos, ou seja, diversos discos ao longo dessa figura. E se pegar cada um desses discos e levar ao limite tendendo a zero, você vai ter um valor exato do volume de cada um desses discos. Então para isso vamos fazer uma pequena aproximação, uma boa aproximação. Vamos pegar esse disco aqui. Esta reta vai corresponder ao diâmetro de um disco, que corresponde a essa parte que liga esses dois pontos. Uma forma de expressar esse diâmetro é reescrevendo essa função aqui. Então a gente poderia colocar isso da seguinte forma: y sendo igual a 1 menos x, ou seja, nós temos uma função de x em que y é igual a essa função de x e que isso indica para a gente as coordenadas desse ponto. Então se nós quisermos saber o diâmetro em cada ponto x, basta utilizar essa função. Então vamos supor que nós temos um ponto x em que essa reta, ou seja, o diâmetro do disco vai ser a função 1 menos x. Para determinar, agora, a área desse semicírculo, basta lembrar como determinar a área de uma circunferência. A área de uma circunferência é igual a π r². (pi) Como nós temos metade de uma circunferência basta dividir isso por 2. Assim a gente vai ter π r² dividido por 2. Mas a minha pergunta para você é: quanto vale o raio desse semicírculo? Então eu redesenhei essa semicircunferência aqui em cima e a minha pergunta, como eu disse, é: quanto vale o raio dessa semicircunferência, desse semicírculo? Se você levar em consideração que esse ponto é o ponto central dessa circunferência em que tudo isso é o diâmetro, o raio dessa circunferência vai ser metade desse diâmetro. Como o diâmetro é igual a 1 menos x, o raio vai ser igual a (1 menos x) dividido por 2. Então nós temos metade do diâmetro aqui, (1 menos x) sobre 2, nós temos metade do diâmetro aqui, (1 menos x) sobre 2, e metade do diâmetro aqui, (1 menos x) sobre 2. Esse raio corresponde à metade do diâmetro, então a gente pode até colocar essa informação aqui. O raio vai ser igual à metade do diâmetro. Como o diâmetro é 1 menos x, vamos ter (1 menos x) dividido por 2. E agora minha pergunta é essa aqui: como podemos determinar a área desse semicírculo? A área desse semicírculo é metade da área de uma circunferência. Como a área de uma circunferência é igual a π r², a gente vai ter π r² dividido por 2, que é a metade da área de uma circunferência. E claro, a gente pode colocar essa área em função de x. Então nós vamos ter essa área em função de x sendo igual a π sobre 2 vezes o raio elevado ao quadrado. Como o raio é igual à metade do diâmetro, ou seja, (1 menos x) sobre 2, a gente coloca que ((1 menos x) dividido por 2)². Então essa função corresponde à área de um semicírculo em cada ponto x ao longo dessa curva. É claro que esse disco que tem um pequeno volume, certo? Se a gente quiser saber esse pequeno volume basta multiplicar a área desse semicírculo pela profundidade desse disco. Então vou chamar essa profundidade (deixe-me desenhar desse jeito, aqui a gente tem uma profundidade), eu vou chamar essa profundidade de Δx. Assim, para determinar o volume desse disco, basta multiplicar esta área por essa profundidade Δx. Então o volume do pequeno disco vai ser igual à área, que é π sobre 2, vezes ((1 menos x) sobre 2)² vezes essa profundidade Δx. Agora caso você queira determinar o volume de toda essa figura, basta somar todos os volumes desses pequenos discos e quando a gente faz um somatório de todos esses pequenos discos com o Δx tendendo a zero, a gente tem o caso de uma integral, já que a integral corresponde ao somatório de pequenos elementos, ou seja, de todos os elementos com o Δx tendendo a zero quando essa profundidade é infinitamente pequena. Então vamos lá. Para determinar esse volume agora, basta calcular a integral com os limites de integração indo de zero a 1, zero é o ponto inicial e 1 é o ponto em que a curva vai interceptar com o zero do eixo y. Então nós temos uma integral definida indo de zero a 1 da nossa função do volume que corresponde a π sobre 2 vezes ((1 menos x) sobre 2)² que a gente já pode abrir isso e ter (x² menos 2x mais 1) dividido por 2², e 2² é 4 dx, que é o nosso diferencial de x, ou seja, o limite para Δx tendendo a zero. Elementos infinitamente pequenos. Como π sobre 2 é uma constante e 4 também, a gente já pode jogar essas constantes para fora da integral. Então nós vamos ter um volume sendo igual a 2 vezes 4 é 8, então vamos ter π sobre 8 vezes a integral de zero a 1 de x² menos 2x mais 1 dx. Resolver essa integral, como é uma função polinomial, é muito fácil. A gente vai ter aqui (x³ sobre 3) menos (x² mais x), então o volume dessa figura vai ser igual a π/8 vezes ((x³ sobre 3) menos x² mais x) com os limites de integração indo de zero a 1. Então isso vai ser igual a π sobre 8 vezes... Quando fizer com 1, a gente vai ter 1³, que é 1, sobre 3, -1², que é 1, mais 1. -1 mais 1 é zero, então vai sobrar apenas 1 sobre 3, menos isso tudo com zero no lugar do x. 0³ dividido por 3 é zero, 0² é zero e zero é o próprio zero. Então quando fizer com zero, a gente não vai ter nada como resultado. Na verdade a gente vai ter zero. Então seria (1 sobre 3) menos zero, que é igual a 1 sobre 3. Então o volume dessa figura formada vai ser igual ao módulo de π sobre 8 vezes 3, que é 24. Então conseguimos determinar o volume formado por essa figura.