Método do disco ao redor do eixo y

RKA1JV - Aqui nós temos o gráfico, ou pelo menos parte do gráfico de "y = x²". E o que eu quero aqui, neste vídeo, é determinar o volume de um outro sólido de revolução. Só que agora, em vez de rotacionar ao redor do eixo "x", eu vou rotacionar ao redor do eixo "y". Agora, a gente não vai observar valores determinados em "x", mas sim valores determinados em "y" e valores que vão variar de "y = 1" até "y = 4". Vamos desenhar aqui. A gente pode fazer um corte, como se tivesse um corte aqui no "y = 1". Aqui dá para visualizar esse corte, certo? O que a gente pode fazer aqui? A gente pode pegar esse gráfico bem aqui, eu vou usar essa curva. E em vez de rotacionar ao redor de "x", como fizemos no último vídeo, a gente vai rotacionar ao redor de "y". Assim, nós vamos rotacioná-lo dessa forma aqui. E qual vai ser a forma que nós vamos obter? Deixe-me ver se consigo visualizar isso. A base vai se parecer com algo desse tipo, se viermos através dele e isso aqui em cima, parte de cima disso vai se parecer com algo mais ou menos dessa forma. E o que nos importa que é a parte que está no interior dele, não a parte inferior. Deixe-me sombrear um pouco isso aqui para ele se parecer com algo dessa forma. Da mesma forma que a gente fez antes, vamos desenhar isso separadamente para que a gente possa visualizar melhor. Eu vou fazer o desenho em ângulos diferentes, só para melhorar a visualização. Se eu fosse desenhar o eixo "y" saindo da parte de trás, ele iria se parecer com algo desse tipo. E ele vai ser cortado desse jeito aqui, então, vai ser parecer, não sei como podemos chamar essa forma. Mas eu acho que você está conseguindo visualizar a forma que está saindo daqui. A visualização aqui, provavelmente, é a parte mais difícil, mas podemos perceber que não é tão difícil também. Ele vai se parecer dessa forma, talvez se pareça com uma trufa, uma trufa de cabeça para baixo. Vamos desenhar o eixo "y" só para entender orientação, eixo "y" está saindo aqui nesse exemplo. Vai para baixo e aqui o eixo "x" será desenhado desse jeito aqui. Eu apenas inclinei o eixo para que a gente consiga visualizar essa figura de um outro ponto de vista, de um outro ângulo. Esse topo da direita é esse topo da direita aqui. Isso consegue te dar uma ideia de como essa figura se parece. Mas apesar de toda essa visualização, ainda não conseguimos responder à nossa pergunta: qual é o volume dessa figura? Como podemos encontrar o volume dessa figura? Diferentemente do que a gente fez antes, que foi criar discos com profundidades pequenas de dx, que tal agora a gente criar discos com profundidade medida em dy? É legal pensar nisso um pouco. Vamos construir um pequeno disco em um certo valor "y". E esse valor em "y", que nós vamos construir o disco, tem o mesmo raio da forma nesse ponto. Esse é o nosso disco, esse disco tem uma profundidade, ou seja, uma pequena espessura. Só que em vez de termos uma espessura em dx, a gente vai ter uma espessura em dy. Essa aqui é a nossa espessura em dy. A minha pergunta para você agora é essa: qual vai ser o volume desse disco em termos de "y"? Eu acho que você já começou a perceber que nós vamos fazer uma integral definida não em relação a "x", mas sim em relação a "y", Então, qual vai ser o volume dessa figura? Como nós já fizemos no último vídeo, nós temos que descobrir qual vai ser a área da face de cada um desses discos. Para encontrar a área da face de um disco que é uma circunferência, basta simplesmente multiplicar π por r². E descobrindo o raio, neste ponto, nós conseguimos determinar a área desse disco, pelo menos a área da face desse disco. Então, qual é o raio nesse ponto? Para pensar no raio em termos de "y", nós precisamos resolver essa equação e colocar em função de "y". Em vez de dizer que "y" é igual a x², a gente pode calcular a raiz quadrada dos dois lados. E assim dizer que a raiz quadrada de "y" é igual a "x". Isso é definido apenas para os valores "y" que não são negativos, mas isso é ótimo. Porque nós estamos observando apenas aqui o lado positivo de "y". Nós temos uma curva no primeiro quadrante, ou seja, onde "x" é positivo. Assim podemos chamar essa função aqui de "x" igual à raiz quadrada de "y". Agora, podemos expressar esse gráfico, essa curva como "x" sendo uma função de "y". Fazendo isso, qual será o raio da face desse disco? O nosso raio aqui será f(y), ou seja, será a raiz quadrada de "y", que é uma função de "y". Eu não quero que você confunda esse f(y) com esse f(x), isso é um f(y). Seria até melhor chamar isso aqui de g(y), para não confundir com f(x). E esse g(y) seria a raiz quadrada de "y", assim, a área formada por esse disco vai ser igual π vezes r². Isso significa que a área vai ser igual a π vezes o nosso raio que é a raiz quadrada de "y", e isso elevado ao quadrado. Assim, isso vai ficar apenas igual a π vezes "y". Agora que já sabemos a área da face desse disco, nós podemos calcular o volume do disco. Para calcular o volume do disco, basta multiplicar a área da face desse disco com a espessura do disco, ou seja, dy. Assim o volume de cada um desses discos será igual a π vezes "y", vezes dy. Isso é o volume do disco, o volume de cada um dos discos. Agora, se a gente quer o volume de tudo isso, temos que somar todos esses discos. Para todos os valores indo de "y" igual a 1 até "y" igual a 4. Vamos fazer isso. Para calcular isso, basta determinar a integral definida entre "y" igual a 1 e "y" igual a 4. Só um pequeno lembrete. A integral definida é um tipo bem especial de soma, estamos somando todas essas coisas. Mas estamos usando o limite daquela soma onde esses "dy" vão ficando cada vez menores. Assim a gente vai ter uma quantidade cada vez maior desses discos. Conforme esses "dy" ficam infinitamente pequenos, temos um número infinito desses discos. Então, a nossa soma não somente se aproxima do volume, ele realmente expressa o volume dessa figura no limite com esse "dy" indo para zero. Vamos lá, para calcular o volume de tudo isso, temos somente que calcular essa integral definida em termos de "y". E como nós podemos fazer isso? Qual vai ser o resultado disso? Podemos colocar o π para fora da integral, afinal de contas, o π é uma constante. Isso vezes a antiderivada de "y" que é somente y² sobre 2, calculado de 1 a 4. Isso vai ser igual a π vezes, calculando isso aqui em 4, teremos 16 dividido por 2, mas deixe-me escrever de uma outra forma. A gente vai ter 4² sobre 2, menos 1² sobre 2. Agora a gente pode calcular isso aqui. 4² é 16, 16 dividido por 2 é 8, menos 1², que é 1, sobre 2. Isso vai ser igual a 15 dividido por 2π , 15 dividido por 2 é igual a 7,5, para deixar isso aqui mais claro. Então, isso seria igual a 7,5 vezes π. Finalmente, terminamos. Encontramos o volume ao rotacionar essa curva em relação ao eixo "y", algo que é bem legal de fazer.