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Método do disco ao redor do eixo x

Cálculo do sólido de revolução (construído pela rotação ao redor do eixo x) usando o método do disco. Versão original criada por Sal Khan.

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  • Avatar aqualine sapling style do usuário Alex Lima
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Transcrição de vídeo

vemos aqui a parte de um gráfico de y que é igual à x ao quadrado e o que nós estamos querendo fazer aqui é usar o poder das integrais definidas para determinar volumes ao invés de apenas áreas é bom relembrar que quando calculamos uma integral definida regular só tomamos a integral definida entre dois pontos por exemplo a integral definida de digamos de 0 a 2 de x ao quadrado de x mas o que isso representa bem vamos olhar que os limites bem nós temos aqui um x igual a zero isso bem aqui nesse outro ponto é que vamos dizer que seja x igual a 2 bem a idéia do limite nos diz que o que nós podemos fazer aqui encontrar um pequeno valor em torno de cada um desses x assim quando nós encontramos esse pequeno valor nós vamos multiplicar pela nossa função que é x elevada ao quadrado aí quando nós fazemos isso ou seja multiplicamos essa pequena largura que pela altura que é igual à x ao quadrado nós estamos calculando a área desse pequeno retângulo e isso é literalmente uma integral a soma de todos esses retângulos que vai entre 0 a 2 no limite onde se de x é muito pequeno ou seja algo que seja infinitamente pequeno mas que não seja igual a zero sendo assim nós vamos somar todos esses retângulos para todos esse xis entre x igual a zero e x igual a 2 e isso no limite onde esse de x vai ficar cada vez menor sendo assim nós vamos ter de x infinitamente pequeno assim a gente vai ter um número infinito de liz e é devido a isso que nós podemos ver o poder da integral definida você pode inclusive imaginar que como esse de chips vai ficando cada vez menor esses retângulos vão ficando cada vez mais estreitos e com isso nós vamos ter uma melhor aproximação da área baixo dessa curva aí quando chegarmos ao limite desse de x tendendo a zero nós vamos ter a área abaixo dessa curva agora nós vamos aplicar a mesma ideia mas não para encontrar apenas a área mas se encontra o volume da figura formado caso a gente faz uma rotação com essa curva em torno desse eixo x para melhorar um pouco a nossa capacidade de visualização vamos ver o que acontece quando a gente jirau seja rotacionar essa função aqui em torno desse eixo x então vamos ver isso daqui vamos olhar que a partir da direita nós teremos uma base parecida com isso aqui olha vou fazer o meu melhor aqui para tentar desenhar isso assim a gente vai ter uma base parecida com essa aqui e o resto será a função no intervalo entre zero e 2 isso vai isso aqui vai ficar algo mais ou menos parecido com um chapéu muito esquisito deixa sombrear um pouco isso daqui pra dar uma clareza melhor de como é a figura é o que nós queremos aqui é nos preocupar com o volume total dessa figura deixa o redesenhar isso a partir de diferentes anos então vamos fazer aqui o outro ângulo de visualização nós podemos desenhar a partir do tubo e aí ele vai se parecer um pouco com isso aqui assim vai ficar um pouco mais óbvio até que essa figura se parece de fato com o chapéu apontado para cima e vindo aqui pra baixo desse jeito aqui nesse ângulo não estamos vendo o seu fundo a só para nos orientarmos o desejo ficar dessa forma que esse aqui sendo o eixo y na horizontal e se aquecendo eixo x que passa que por dentro e aparece do outro lado bem se a gente fosse fazer uma figura transparente a gente poderia ver do outro lado então seria mais ou menos assim o eixo x vai passar através de isso vai furar a base aqui e continuar dessa forma até chegar no outro lado isso daqui a mesma figura mas com um outro ponto de vista ou seja vista de um outro ângulo diferente vamos pensar agora sobre como podemos calcular o volume dessa figura ao invés pensarmos apenas em termos de área de cada um desses retângulos o que vai acontecer e rotacionar mas cada um desses retângulos em torno do eixo x e vamos fazer isso vamos pegar cada um deles por exemplo vamos dizer que nós temos um destes bem aqui e que a gente vai rotacionar isso em torno do eixo x vamos fazer então isso daqui rotacionando em torno do isso x nós vamos ter algo parecido com uma moeda o disco ou deixou desenhar isso aqui aqui nós vamos ter o disco que vai se parecer com isso com uma espessura de x como podemos calcular o volume desse disco a deixou redesenhar que também é muito importante visualizar essas formas direito tudo bem esse é o meu eixo x e o meu disco ficará desse jeito aqui a que tal nosso eixo x de fora para dentro e isso será a superfície do meu disco essa pequena região será a minha espessura de x até legal só que deixou sombra um pouquinho mais aqui por dentro para dar uma sensação maior de profundidade nem a minha pergunta então agora é como que podemos encontrar o volume disso multiplicando a face desse disco ou seja área que dessa fase pela espessura do disco que nesse caso vai ser de x mas uma outra pergunta interessante também a se fazer é qual vai ser a área dessa base bem sabemos que a área de uma circunferência é igual ap vezes é relevado quadrado então sabendo diz qual vai ser o raio dessa fácil o raio é somente à altura desse retângulo original que para qualquer x à altura bem aqui será igual à fdx que nesse caso é igual à x elevada ao quadrado então nosso raio aqui será x elevada ao quadrado sendo assim para cada 1 x a área dessa fase será igual ap vezes x ao quadrado elevada ao quadrado agora que nós já sabemos a área dessa face como que vai ficar o volume como podemos determinar o volume desse disco nenhum volume vai ser essa área vezes essas pessoas que então vai ser isso aqui vezes deixem o volume será área vezes essa espessura bem aqui e essa espessura é igual à de x assim a gente vai ter a área vezes deixeis que é igual ap vezes x elevado ao quadrado elevada ao quadrado já que o raio x ao quadrado e esse raio tem que ser levado ao quadrado assim nós vamos ter pvc x elevado à quarta potência vezes de x essa expressão é que vai nos dar um volume de cada um desses discos mas como nós queremos o volume de tudo isso de todo esse chapéu dessa corneta ou de algo parecido com essa figura como podemos fazer isso usando exatamente a mesma técnica o que acontece é que se a gente somar todas essas coisas ou seja se a gente somar cada um desses discos então vamos somar todos esses pis vezes x elevado à quarta potência indo de x igual a zero até x igual a 2 já que esses são os limites em que nós definimos anteriormente na verdade a gente poderia ter feito isso pra qualquer intervalo de x tudo bem mas a gente definiu aqui o x indo de 0 a 2 então somando os volumes de todas essas moedas no limite em que essas pessoas ficam cada vez menores nós vamos ter o volume total do nosso chapéu ou do nosso cônico nem tudo que você quiser chamar e pra calcular isso basta a gente utilizar a idéia de integral definida assim nós vamos ter o nosso volume então vamos ver se a gente consegue fazer isso causa esse vídeo agora entendi calcular isso sozinho nem pra fazer isso nós podemos é que jogar pra fora o ppi já que o pi é uma constante então a gente vai ter pi vezes a integral indo de 0 a 2 de x e levado à quarta potência para calcular essa integral definido inicialmente a gente precisa saber a amt derivada de x e levado à quarta potência bem antes da elevada de x e levado à quarta potência vai ser igual à x elevado a 5 sobre cinco assim isso daqui vai ser piv eses x elevado a quinta potência sobre cinco em indo de 0 a 2 isso aqui vai ficar igual ap vezes essa coisa que calculado em 2 assim a gente vai ter 2 elevado a 5 sobre 5 - essa coisa que calculada em 0 a gente vai ter 10 elevado a 5 sobre 52 e levado à 5ª potência igual a 32 então a gente vai ter que algo igual ap vezes 32 sobre 5 - 0 levado a 50 / 5 a 0 então vai ser menos 10 ou seja integral definida de pi vezes x elevado à quarta potência indo de 0 a 2 vai ser igual a 32 pires sobre si e isso vai ser o volume dessa figura doida que nós estamos observando