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Generalização do método do disco ao redor do eixo x

Generalização do que fizemos no último vídeo com f(x) para obter a "fórmula" para o uso do método do disco ao redor do eixo x. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - O que nós vamos fazer neste vídeo é generalizar o que nós já fizemos no último vídeo. Ou seja, nós vamos demonstrar a fórmula para girar algo ao redor do eixo "x", algo que a gente costuma chamar de "método dos discos". Basicamente, o que nós vamos fazer é mostrar essa fórmula que vem em tantos livros de cálculo. E ela vem dos mesmos princípios que fizemos no último vídeo. Um detalhe muito importante: eu não recomendo que você decore essa fórmula. É importante que você precise saber de onde ela veio. Inclusive, é melhor fazer isso usando os primeiros princípios de onde você encontra o volume de cada um dos discos e pensar nisso dessa forma. Mas vamos generalizar o que fizemos no último vídeo. Em vez de dizer que y = x² no gráfico desta função aqui, vamos generalizar e chamar isto de y = f(x). E, ao invés de dizer que "x" varia de zero a 2, vamos fazer com que varie de "a" a "b". Esses vão ser os limites no eixo "x". Então, como é que podemos calcular o volume disso? Bem, assim como no último vídeo, ainda temos um disco como este. Mas qual é a altura do disco agora? A altura do disco não é apenas x², porque nós estamos fazendo uma generalização. A altura vai ser simplesmente a altura da função neste ponto. Logo, a altura do disco vai passar a ser f(x). A área da superfície desse disco é π vezes o raio ao quadrado, certo? Mas o raio é f(x), então, nós vamos elevá-lo ao quadrado. É a área desta face bem aqui. Sendo assim, qual vai ser o volume do disco? Para determinar isso, vamos apenas multiplicar isto pela espessura, que será dx. E como nós queremos somar todos estes discos, de "a" até "b", vamos obter a soma de todos. E vamos fazer isso no limite em que dx fica cada vez menor. Assim, nós teremos infinitos discos como este. Desta forma, se a gente quer somar todos esses infinitos discos, a gente vai precisar determinar a integral definida, variando de "a" até "b". E essa é a fórmula que você vai ver frequentemente em diversos livros de cálculo, em que esses livros chamam este método, inclusive, de métodos dos discos girando ao redor do eixo "x". E eu quero te mostrar que isso vem da ideia de se encontrar o volume deste disco. Este f(x) aqui é apenas o raio do disco. Então, esta parte é realmente π vezes o raio elevado ao quadrado. Nós vamos multiplicar pela profundidade, ou seja, pela espessura e, então, vamos obter a soma de "a" até "b" para todos os discos. que é, essencialmente, esta integral, no limite em que todos os discos estão cada vez menores, obtendo com isso um número infinito de discos.