Exemplo do teorema do valor médio: polinômio

RKA4JL - Vamos supor que a gente tenha uma função f(x) sendo igual a x² menos 6x mais 8 e que eu queira encontrar um ponto C em que a derivada dessa função nesse ponto C seja igual à taxa de variação em um certo intervalo. Então vamos supor que a gente tenha aqui um intervalo qualquer, um intervalo, por exemplo, indo de 2 a 5 e que nós estamos querendo encontrar um ponto C que pertença a esse intervalo, esse intervalo que vai de 2 a 5, em que a derivada dessa função nesse ponto C seja igual à taxa média de variação nesse intervalo. Como que a gente consegue encontrar a taxa média de variação? Basta simplesmente encontrar a reta secante entre esses dois pontos e calcular a razão entre a variação da função pela variação entre esses pontos 2 e 5. Como? Colocando aqui f(5), já que é a variação da função entre esses dois pontos, menos f(2) dividido por (5 menos 2). Essa aqui será a taxa de variação média, então é isso que nós estamos querendo encontrar: a derivada dessa função nesse ponto C sendo igual à taxa de variação média dessa função ao longo desse intervalo [2;5]. OK, já podemos até calcular essa expressão substituído por 5 aqui e por 2 nesta função. f(5), a função quando x for igual a 5, vai ser igual a 5², e 5² é 25, menos 6 vezes 5, e 6 vezes 5 é 30, então vai ser 25 menos 30 mais 8. 25 menos 30 mais 8 é igual a 3. Vamos fazer a mesma coisa agora substituindo x por 2. Nós vamos ter 2², e 2² é 4, 4 menos 6 vezes 2, que é 12, mais 8. 4 menos 12 é -8, com mais 8 é igual a zero. Então a gente vai ter aqui em cima 3 menos zero, que é igual a 3, e embaixo 5 menos 2, que também é igual a 3 e 3 dividido por 3 é igual a 1. Então esse 1 corresponde à taxa de variação média nesse intervalo indo de 2 a 5 para essa função. Agora o que nós queremos é calcular essa derivada, a derivada nesse ponto C que queremos encontrar. Então calculando a derivada, f'(x), nós vamos ter, derivando x², temos 2x menos a derivada de 6x, que é 6, e a derivada de 8 é zero, porque é uma constante. Isso aqui, pelo que a gente falou, essa derivada tem que ser igual à taxa de variação média dentro desse intervalo, e isso é igual a 1. A gente já calculou isso. A gente pode igualar isso aqui com 1. Somando 6 em ambos os lados da equação, a gente vai ter 2x sendo igual a 1 mais 6, que é igual a 7. Dividido por 2 ambos os lados dessa equação, agora a gente vai ter x sendo igual a 7 sobre 2. Então esse ponto C é quando x é igual a esse 7/2. Agora que já encontramos C igual a 7/2, que é 3,5, nós podemos fazer um gráfico para verificar isso. É o que nós vamos fazer agora. Deixe-me colocar aqui, então, o nosso y, e aqui o nosso eixo x. Deixe-me dividir a numeração: aqui é um, dois, três, quatro e cinco. Aqui está bom. Até 5. Aqui também deixe-me colocar um, dois, três. Até o 3 também está bom. Aqui nós já sabemos que x sendo igual a 2 é um ponto em que a função é igual a zero, certo? Então aqui a gente vai ter esse ponto no x sendo igual a 2 e a função que é y, o eixo y, sendo igual a zero. Para vermos a outra função a gente poderia simplesmente colocar essa expressão de uma outra forma. Isso aqui, x² menos 6x mais 8 é a mesma coisa que (x menos 2) vezes (x menos 4). Se a gente multiplicar isso aqui, vamos ter x² menos 2x menos 4x, que é -6x, -2 vezes -4, que é +8, desse jeito aqui. Então a gente tem x menos 2 quando x for igual a 2 anula essa função e aqui quando x for igual a 4 também anula essa função. Então a gente vai ter um outro ponto no x sendo igual a 4, que é a função sendo igual a zero. O que a gente pode fazer também é substituir esse x igual a 3 para encontrar o ponto de inflexão, o ponto de mínimo nesse caso para essa função. A gente poderia também substituir por 3 aqui nessa função para ver o que vai acontecer com ela, para encontrar esse ponto y. Se eu substituir aqui por 3 a gente vai ter 3³, que é 9, 9 menos 18... -18 mais 8 é 10, 9 menos 10 é igual a -1. A gente pode até aumentar um pouquinho. A gente tem aqui 3 sendo igual a -1, mais ou menos nesse ponto aqui, certo? Outro ponto que também é interessante de a gente observar é quando x for igual a 5, porque a gente também tem essa função do x sendo igual a 5 e a função dando resultado como 3. A gente teria algo mais ou menos por aqui, mais ou menos nesse ponto aqui. Eu acho que só isso já basta para a gente conseguir montar um esboço da nossa função. Então a gente teria algo mais ou menos assim, subindo aqui, afinal de contas é uma parábola, mais ou menos dessa forma. A gente pegando o nosso intervalo, que é do x sendo igual a 2 até x igual a 5, a gente teria essa reta secante e para determinar essa taxa de variação média entre esses dois pontos a gente já fez isso e deu um valor igual a 1, o que determina a inclinação desta reta secante. Agora vamos supor que temos aqui um ponto x sendo igual a C em que esse C é 7/2, e 7/2 é 3,5, mais ou menos entre 3 e 4. Nesse ponto a gente vai ter uma inclinação, uma reta tangente passando por esse ponto que se a gente traçar, ela vai ser algo paralela a essa reta secante. Então a gente pode verificar que a inclinação dessas duas retas são iguais, ou seja, a taxa de variação média nesse intervalo de 2 a 5 é igual à inclinação da reta tangente, ou seja, da derivada para essa função nesse ponto C sendo igual a 7/2.