Aplicação do teorema do valor médio

RKA3JV - Você pode pensar que o Teorema do Valor Médio é só mais um teorema misterioso que aparece nas aulas de Cálculo. O que eu quero mostrar, neste vídeo, é que o Teorema do Valor Médio tem sido utilizado, pelo menos implicitamente, para dar multas por alta velocidade a algumas pessoas. Vamos pensar em um exemplo. Digamos que aqui temos uma cabine de pedágio, neste ponto "A", e você passa por ela exatamente à 1 hora da tarde. Então, os computadores da rodovia registram isso. Digamos que você tenha, no seu automóvel, um destes equipamentos em que o pedágio registra quem você é e cobra diretamente dali, etc. E você estava, então, nesta cabine de pedágio "A" à 1 hora da tarde exatamente. Então, você sai desta cabine de pedágio e mais adiante existe uma cabine de pedágio "B" a qual você chega, exatamente, às 2 horas da tarde. Digamos, também, que a distância entre as cabines "A" e "B", indo por esta estrada, é de 130 km. Nesta estrada, o limite de velocidade permitido é de 90 km/h. A questão é: as autoridades podem provar que você ultrapassou este limite de velocidade? Vamos representar isso graficamente. Eu acho que você sabe onde queremos chegar. Vamos colocar este eixo para representar a nossa posição. Vamos representá-la pela letra "S". Normalmente, usada por causa de "space". Na física "S" representa cada posição do automóvel na estrada. Digamos que temos aqui um eixo "t" para indicar o tempo. O "t" medido em horas, o tempo medido em horas. O espaço medido em quilômetros. Vamos localizar aqui o tempo. Aqui, uma hora e depois duas horas. Este desenho não está completamente na escala. Eu vou indicar aqui que existe um salto no eixo, porque eu quero ter foco neste intervalo. Aqui temos o tempo valendo 2 horas. Quando o tempo era de 1 hora, temos aqui a posição "S" de 1 hora. E quando o tempo, o relógio marcava 2 horas, temos aqui o "S", a posição em 2 horas. Temos aqui, então, S(1) e S(2). "S" em função de "t". E isso é o que nós sabemos. Sabemos que a variação do tempo é 2 menos 1, que dá 1 hora. Sabemos que a nossa variação na posição é de 130 quilômetros e ela pode ser escrita como ΔS = S(2) - S(1). E isso tem que ser igual a 130 km. Para facilitar, estamos assumindo aqui uma estrada retilínea. Então, a variação na posição é a mesma coisa que o deslocamento. De novo, temos aqui que a variação do tempo é 2 menos 1, e isso é igual a 1 hora. Podemos dizer, então, que a inclinação da reta que liga estes dois pontos é de 130 km para cada hora. E isso significa que a velocidade média entre estes dois pontos foi de 130 km/h. E isso pode ser usado pelas autoridades em um tribunal dizendo a seguinte ideia: a sua velocidade média neste intervalo foi de 130 km/h. Então, em algum momento deste intervalo de tempo, e poderia ter sido dito algo como pelo Teorema do Valor Médio, você pôde dirigir a exatamente 130 km/h. E seria muito complicado provar o contrário, porque a sua posição em função do tempo neste intervalo é contínua e diferenciável. Você não está sendo teletransportado de um lugar para outro, a menos que tivesse um automóvel mágico. E por ter uma velocidade bem definida em cada instante deste seu movimento, a função da posição em relação ao tempo também é diferenciável. Então, eu desafio qualquer pessoa a ligar estes dois pontos com o gráfico de uma função contínua, sem que, em algum momento, a inclinação da reta tangente ao gráfico em algum ponto seja exatamente a mesma inclinação desta reta aqui. É impossível! O Teorema do Valor Médio nos garante que isso é impossível! Eu vou até desenhar aqui para dar uma ideia. Vamos supor que neste ponto eu estivesse parado para pagar o pedágio. Então, eu começo a percorrer a rodovia com uma velocidade menor do que a minha velocidade média e vou acelerando o automóvel. A inclinação da reta tangente ao gráfico em cada ponto vai se modificando e para que eu possa chegar lá no outro ponto no mesmo horário eu tenho que acelerar e ultrapassar o valor da velocidade média para depois desacelerar e parar lá. E o Teorema do Valor Médio nos diz exatamente que se você tem uma função contínua neste intervalo fechado e diferenciável aqui no intervalo aberto, existe pelo menos um ponto "C" no intervalo aberto em que a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função é a mesma inclinação da reta secante ao gráfico e que passa pelos dois pontos que limitam o intervalo. Neste ponto aqui, parece que temos exatamente a mesma inclinação da reta tangente que a reta secante. E aqui, poderia ser o tempo indicado por "C", digamos que em torno de 1 hora e 15 minutos. Ou seja, o Teorema do Valor Médio diz que a derivada de "S" no ponto "C" é exatamente igual a esta velocidade média, esta variação média. E, neste caso, seria de 130 km/h. Observe aqui. Neste outro ponto também parece que poderíamos ter a inclinação da reta tangente ao gráfico com a mesma inclinação da reta indicando a velocidade média. Eu espero ter esclarecido um pouco mais. Até o próximo vídeo!