If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Otimização: volume de uma caixa (parte 1)

Se você estiver construindo uma caixa com um pedaço plano de papelão, como você maximiza o volume desta caixa? Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA3JV - Neste vídeo, vamos pegar um pedaço de papelão de 20 cm por 30 cm e fazer um corte neste papelão, a fim de construir uma caixa. Mas queremos que esta caixa tenha o volume máximo. Aqui é 20 cm, aqui é 30 centímetros. E vamos fazer um corte de tamanho "x" de um lado, do tamanho "x" do outro. São 4 cortes, todos os 4 de tamanho "x". Então, 4 cortes para que possamos fazer a nossa caixa. Nós queremos dobrar, nós cortamos esta caixa. Cortamos e dobramos. Ao dobrarmos esta caixa, ela vai ficar com este fundo aqui. Este aqui vai ser o fundo da caixa, esta parte aqui vai ser o fundo da caixa. E estas daqui vão ser as laterais. Vamos colocar esta lateral de 30 cm em rosa. E vamos colocar esta parte que está 20 cm. Na realidade, 20 cm - 2x. Esta lateral aqui, que está em rosa, vai ser 30 cm - 2x. E esta parte, que está em azul, vai ser de 20 cm - 2x. Então, ao fazermos este corte, nós podemos levantar a caixa. Então, a caixa vai ficar algo deste tipo aqui. Vamos tentar desenhar a caixa. A caixa fica algo deste tipo aqui. Aqui nós temos nossa lateral. E podemos fazer a nossa caixa de tal forma que nós temos o nosso comprimento, a nossa profundidade aqui de 30 - 2. E deste lado de cá, nós temos a profundidade. Obviamente, não está em escala. A profundidade, esta parte aqui é a parte aqui de baixo, e esta parte aqui são as laterais. Este aqui vai ser o nosso 30 - 2x e esta parte aqui 20 - 2x. Obviamente, não está em escala, é apenas para ter uma noção. Ora, o que vai ser o volume da caixa? O volume da caixa em função de "x" vai ser a altura, que vai ser "x", vezes a lateral, que vai ser 20 - 2x, vezes a largura, que vai ser 30 - 2x. Ou seja, se nós multiplicarmos um lado da caixa vezes o outro lado da caixa, vezes sua altura, vai dar o volume. Agora, este tamanho de "x". Ou seja, vamos pegar aqui o 20 - 2x tem que ser maior ou igual a zero. Ou seja, nós temos que 2x tem que ser menor ou igual a 20, "x" tem que ser menor ou igual a 10. Isto é lógico, porque se "x" for 10, 2 vezes 10 dá 20, 20 menos 20, este lado não teria lado nenhum. E o "x" também não pode ser zero. Ou seja, tem que ser maior do que zero, obviamente. Então, o "x" vai ter que ser menor ou igual a 10 e vai ter que ser maior ou igual a zero. E vai variar entre estas duas fronteiras, entre zero e 10. Em zero a caixa não tem volume, porque ela não tem altura. E em 10 a caixa não tem volume, porque você cortou. Este "x" foi 10, cortou aqui até a metade, não dá para você fazer a caixa. O "x" tem que variar entre zero e 10. E a equação geral é esta aqui. Então, nós temos como calcular o volume. "x" vezes 20 - 2x, vezes 30 - 2x. Quando o "x" for zero, o volume é zero. E quando "x" for 10, o volume também vai ser zero. Nós queremos saber qual é o "x" que vai dar o volume máximo. Nós poderíamos derivar o volume e igualar a zero para ver qual seria o volume máximo, mas, como em uma prova pode-se utilizar a calculadora gráfica, nós vamos simular no "Modelos" e ver, pelo "Modelos", qual o valor de "x" que nos dá o volume máximo. Bem, nós conseguimos em 3,92, 1.056,31. Se baixarmos um pouco de 3,92, ele já baixa. E se superarmos 3,92, um pouco maior do que 3,92 ele baixa também. Ou seja, o máximo valor se dá em 3,92.