Otimização: lucro

RKA14C Vamos supor que você queira entrar para o ramo de uma fábrica de sapatos. Antes de você entrar para esse ramo, você faz uma análise da receita e dos custos. Vamos supor que a sua receita em torno de milhares de sapatos seja de 10 para cada milhar de sapatos. Obviamente, você faz uma análise de custo. O custo de cada sapato, depois de contratar uma equipe responsável, eles analisam que é algo do tipo: x³ - 6x² + 15x. Você quer otimizar o seu lucro. Então, o que é o lucro? O lucro dos sapatos vai ser a receita dos sapatos menos o custo dos sapatos. Muito bem, então, vamos desenvolver o lucro para verificar como podemos maximizar. Nós temos o lucro, a receita é 10x, menos o custo. Então, fica: -x³ + 6x² - 15x. Isso fica no total de: -x³ + 6x² - 5x. Isso é o seu lucro. Bem, para que nós possamos ter um lucro máximo ou mínimo, o que nós fazemos? Nós derivamos, pegamos a primeira derivada do lucro, e igualamos a zero. Ou seja, neste ponto, vai ser um ponto de máximo ou mínimo. Derivando essa expressão, você tem -3x² + 12x - 5, e vamos igualar isso a zero. Bem, para acharmos os máximos e os mínimos, nós podemos modificar esta expressão aqui apenas por conveniência e multiplicar tudo por -1. Ficamos com 3x² - 12x + 5 = 0. Vamos ver o ponto de máximo e mínimo. Ou seja, vamos ver... Ou de mínimo. Nós temos aqui -b, que é 12, mais a raiz quadrada de b vezes 2, que é 144, menos 4 vezes a, que é 3, vezes c, que é 5, isso tudo sobre 2 vezes 3, que é 6. Ou você tem 12 menos √144 - 4 vezes 3 vezes 5, tudo isso sobre 6. Essa conta vai nos dar: 3 vezes 4, que é 12, vezes 5, fica 60. 144 - 60 = 84. Vamos fazer aqui na calculadora: 84, raiz, mais 12, igual, dividido por 6. Vamos ter 3,5275. Vamos ver se é isso mesmo. 3,5275. Ou menos, então vamos ver o caso do menos: 84, raiz, troca o sinal, soma com 12, igual, e divide por 6. Vamos ter 0,47247. 0,47247. Bem, agora qual é a próxima etapa? Nós temos que saber se isto aqui é o máximo ou o mínimo e se este aqui é o máximo ou o mínimo para podermos produzir a quantidade de sapatos que queremos produzir. Sabemos que isto aqui está em milhares de sapatos ao dia. Então, o que nós podemos fazer? Nós podemos pegar a segunda derivada, L"(x), e ver a concavidade. L"(x) vai ficar igual a... Nós temos L', que é -3x² + 12x - 5. Portanto, L"(x) = -6x + 12. Agora, vejamos: com 3,57275 vezes 6 vai dar um valor que é mais negativo do que 12. Portanto, o nosso L" para esse valor de 3,5275 é um número menor que zero. Vamos ver o L" para o valor de 0,47247. Se colocarmos aqui... Isso é mais ou menos 1/2, 1/2 vezes 6 = -3. Isso vai dar um número positivo. Então, o que isso quer dizer? Quando a segunda derivada é negativa, significa que a concavidade é para baixo. Então, a gente vai ter um ponto de máximo. Ou seja, é o nosso lucro máximo. Neste segundo caso, quando a segunda derivada é maior do que zero, nós vamos ter a concavidade para cima. Vamos ter, na realidade, o ponto de mínimo. Então, já sabemos qual é o valor, o número de sapatos diários que devemos produzir para ter o nosso lucro máximo. Podemos calcular qual é o nosso lucro máximo, uma vez que temos a equação que nos dá o lucro máximo. Então, vamos calcular o lucro que vamos ter ao fazer esses sapatos. Vamos pegar aqui o lucro em cima de 3,5275. Isso vai ser igual a -(3,5275)³ mais (6 vezes 3,5275)² menos (5 vezes 3,5275). Bem, fazendo essa conta, nós vamos ter 3,5275³, igual, troca o sinal, mais 6 vezes, abre os parênteses, 3,5275, fecha os parênteses e eleva ao quadrado, igual, menos 5, vezes 3,5275, igual. Então, vamos ter um lucro de 13,128. Esse é o lucro diário de milhares de sapatos, de 3,527 sapatos produzidos ao dia, levando em conta a receita e levando em conta o custo. Verificamos que há um ponto de máximo na segunda derivada. Verificamos quais são os pontos de máximo e de mínimo na primeira derivada igualando a zero. Quando a gente iguala a zero, a gente tem inclinação zero. Ou seja, ele é máximo ou ele é mínimo. Quando a concavidade é para baixo, ou, no caso, quando a segunda derivada é menor que zero, a concavidade é para baixo no ponto de máximo. Então, calculamos o ponto de máximo. Vimos qual é o lucro sobre a quantidade de pares produzidos.