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Tangente horizontal à curva implícita

Como encontrar a equação da tangente horizontal à curva definida implicitamente como uma equação em x e y.

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Transcrição de vídeo

RKA14^C Olá, meu amigo e minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um pequeno problema sobre a tangente de uma curva. O problema diz o seguinte: Somos instruídos a considerar a curva dada pela equação x² + y⁴ + 6x = 7. Mostre que a derivada de y em relação a x é igual a esta expressão aqui. Bem, você pode descobrir isso por meio de uma diferenciação implícita, e resolver isso para dy/dx. Inclusive, a gente já fez isso em outros vídeos, mas, continuando aqui... Escreva a equação da reta horizontal que é tangente à curva e está acima do eixo x. Bem, pause este vídeo e tente descobrir isso sozinho ou sozinha. E aí, conseguiu fazer? Se não, não tem problema, a gente vai fazer isso juntos agora. Bem, vamos ter certeza que estamos visualizando isto aqui direito. Então, deixa eu desenhar um diagrama rápido aqui, agora. Este aqui é o meu eixo y, e este é o meu eixo x. Eu não sei exatamente como esta curva se parece, mas vamos imaginar que a curva tenha este formato aqui. Bem, baseado no que eu acabei de desenhar, haveria duas retas tangentes. A primeira pode estar aqui, e a segunda talvez esteja por aqui. O problema pede a reta horizontal que é tangente à curva e que está acima do eixo x. Então, o que nós sabemos? O que precisa ser verdade para esta reta tangente ser horizontal? Bem, para isso acontecer neste ponto, dy/dx tem que ser igual a zero. Na verdade, isso tem que acontecer em ambos os pontos. Bem, nós já sabemos o que é dy/dx. Nós sabemos que dy/dx é igual a -2 vezes (x + 3) dividido por 4 vezes y³. Sabendo disso, quando isso vai ser igual a zero? Bem, isso vai ser igual a zero quando o nosso numerador for igual a zero, e o nosso denominador não for. Então, quando o nosso numerador será igual a zero? Bem, isso acontece quando x = -3. Afinal, quando x = -3, a derivada é igual a zero. Agora, qual será o valor de y correspondente a esse x = -3? Bem, a gente consegue saber isso por meio desta equação aqui em cima. Resolvendo-a, nós teremos y igual a alguma coisa. Bem, para descobrir isso, nós apenas pegamos esse x = -3, substituímos aqui na equação original e resolvemos para y. Vamos fazer isso, então! Teremos aqui (-3)² + y⁴ + 6 vezes (-3), isso sendo igual a 7. Bem, isto aqui é 9. E isto aqui é -18. Aí, mantemos o y⁴ aqui e resolvemos 9 - 18, que é igual a -9. E tudo isso é igual a 7. Agora, basta a gente adicionar 9 em ambos os lados. Chegamos à conclusão de que y⁴ = 16. Sendo assim, a gente pode dizer que y = ± 2. Com esse resultado, chegamos à conclusão de que existem duas retas horizontais: uma em y = 2 e a outra em y = -2. Mas o problema pede apenas a equação da reta horizontal tangente à curva que está acima do eixo x. Bem, só esta aqui vai estar acima do eixo x. Terminamos! Então, y = 2. Bem, meu amigo ou minha amiga, espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui. Mais uma vez quero deixar para você um grande abraço. Até a próxima!