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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 5
Lição 5: Como usar o teste dos candidatos para encontrar extremos absolutos (globais)- Como encontrar os extremos absolutos em um intervalo fechado
- Mínimos e máximos absolutos (intervalos fechados)
- Mínimos e máximos absolutos (domínio completo)
- Mínimos e máximos absolutos (domínio completo)
- Revisão de mínimos e máximos absolutos
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Como encontrar os extremos absolutos em um intervalo fechado
Neste vídeo, encontramos o valor máximo absoluto de f(x)=8ln(x)-x² dentro do intervalo [1,4]. Versão original criada por Sal Khan.
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- É verdade que : só* existem máximos/mínimos globais em funções definidas em um *intervalo fechado?
Obrigado :D(2 votos)- Não. Um intervalo fechado é apenas um "pedaço" de uma função que mostra valores no domínio e seus respectivos valores na imagem nesse intervalo. Por exemplo, a função cosseno, os mínimos e máximos desse função são os valores do domínio cuja a imagem é 1 ou -1 respectivamente, no caso, qualquer numero da forma K pí, onde K pertence ao conjuntos dos números inteiros, fazem com que a função cosseno tenha valores máximos e mínimos.(3 votos)
- Por que nesse video ele usou a função f(x)? Não era pra ser f'(x) ?(2 votos)
- se o resultado ficou positivo, por que não é um ponto de mínima? se quando o resultado maior que 0 é côncavo para cima.(1 voto)
- In a function f(x)=x lnx on those intervals [1,3], there are maximun and minimum absolute points?(1 voto)
- The derivative of f(x)=x.ln(x) is f'(x)=1.ln(x)+x.1/x=ln(x)+1. For any value of x inside the interval, f'(x) is positive (y is increasing), so there are no maximum or minimum points but the extremities: 1 has the minimum and the 3 has the maximum in the interval.(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA3 - E aí, pessoal.
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos encontrar extremos absolutos
em um intervalo fechado. E, para isso, nós temos esta função
que é 8 lnx - x². Onde "x" pertence a este intervalo. Ou seja, o domínio da função
é este intervalo. E isso significa que os extremos
também fazem parte do domínio. Dada estas informações,
eu gostaria de te perguntar, qual é o valor máximo absoluto de "F"? E, claro, eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. Ok, vamos lá! Digamos que nós temos aqui um intervalo
fechado onde a função é definida. Nós temos alguns cenários possíveis
para o gráfico desta função, nós podemos ter o máximo absoluto
no início do intervalo e um mínimo absoluto
no final do intervalo. Mas também podemos ter uma função onde o máximo absoluto
está no final do intervalo ou, então, nosso máximo absoluto
está em algum lugar deste intervalo. Por exemplo, podemos ter uma curva assim, onde este é o ponto máximo. Isso significa dizer que a reta
tangente que passa por ele tem inclinação igual a zero. O que significa dizer que a derivada,
neste ponto, é igual a zero. Também poderíamos ter algo,
mais ou menos, assim. Onde a função faz um bico
no seu ponto máximo. E a derivada neste ponto é indefinida, isso porque a inclinação está positiva e, logo em seguida, fica negativa. Na verdade, tem muitas retas
tangentes a este ponto, não é? Enfim, tem diferentes cenários
para o gráfico da função. E para responder a esta pergunta, nós vamos substituir o "x" na função
do início do intervalo e do final. E vamos tentar descobrir
valores para "x" onde a derivada é zero ou indefinida. E estes pontos onde a derivada é zero
ou é indefinida, nós já vimos. Eles são chamados de pontos
críticos da função. Então, estes aqui são os pontos críticos. Claro, você poderia ter um ponto
crítico aqui onde a inclinação é zero, mas não seria máximo ou mínimo. Basicamente, o que podemos fazer é encontrar todos os pontos críticos
e testar na função. E nós podemos testar
estes extremos também, todos eles são candidatos
a valor máximo absoluto. Primeiro, vamos encontrar
os valores críticos. Para isso, nós devemos encontrar
a derivada da função "F". Ou seja, a derivada disso aqui, que é a coisa aqui 8/x menos 2x. E nós igualamos isso a zero. E, com isso, nós vamos ter
essa equação, que podemos resolver somando 2x
a ambos os membros dela, ficando com 8/x = 2x. E se multiplicarmos ambos
os membros da equação por "x", vamos ficar com 8 = 2x². E dividindo ambos os membros dela por 2, vamos ficar com 4 = x². E que se você resolver isso, você vai encontrar "x" igual
a mais ou menos 2. Mas como o domínio
da função é de 1 até 4, nós consideramos somente x = 2. Então, x = 2. Então, este aqui é o ponto crítico. Mas será que ele é o único? Ou seja, este "x = 2" é o único valor que faz com que a derivada seja zero, já que o -2 não pertence a este intervalo. Mas o que faz com que a derivada
seja indefinida? Se você colocar um zero
aqui neste denominador, a derivada vai ser indefinida. Mas note que zero não faz
parte do intervalo. Com isso, este é o único ponto crítico
da função neste intervalo. Agora, o que devemos fazer é substituir valores dentro
deste intervalo na função e substituir o ponto crítico
e ver qual deles é o maior. Ou seja, nós vamos calcular F(1),
que é a mesma coisa que 8ln1 - 1². E F(4) é igual a 8
vezes ln4 - 4². E F(2) é igual a
8 vezes ln2 - 2². E para ver qual deles é o maior, você pode utilizar uma calculadora. Mas vamos tentar deduzir aqui
qual é o maior primeiro. Veja bem, o logaritmo natural
de 1 é zero. Então, vamos ficar zero vezes 8,
que vai dar zero. Então, esta parte dá zero, menos 1² vai ser igual a -1. O logaritmo natural de 3 é,
aproximadamente, 1,7. E ln4 está entre 1,2 e 1,6,
mais ou menos. E se multiplicarmos por 8, vai ser algo entre 11 e 12,
maios ou menos. Ou seja, isto aqui vai ser
menor do que 4², que é 16. O que nos diz que o
resultado disso é negativo. Enquanto que ln2 está entre zero e 1. E quando multiplicamos por 8,
vai ser algo maior do que 2². Portanto, esta subtração
vai dar algo positivo. E, claro, F(1) é negativo, não é? Portanto, este aqui é
o valor máximo absoluto. Então, quando "x = 2", nós temos o valor máximo
da função, que é 8ln2 - 4. Ou seja, este aqui é o máximo absoluto. E, claro, você pode utilizar uma
calculadora para confirmar isso. O F(4) vai ser igual a 8
vezes o ln4 - 16, e que vai dar -4,9
e assim por diante. De fato, um número negativo. E o F(2) vai ser igual a 8
vezes o ln2 - 4 = 1,5, aproximadamente. Ou seja, é um valor positivo. De fato, este aqui é o máximo absoluto. Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!