Como encontrar os extremos absolutos em um intervalo fechado

Suponha que a função f de x é igual a oito vezes o logaritmo natural de x menos x ao quadrado, e é definida sobre o intervalo fechado entre um e quatro. Então temos um intervalo fechado. Este intervalo inclui o um e o quatro. Você pode vê-lo como o domínio da nossa função como nós o definimos. Dado isto, dada esta informação, esta definição de função, gostaria que você encontrasse o valor máximo absoluto de f, como definido, onde f é definido aqui, onde f é definido neste intervalo fechado. Encorajo você a pausar este vídeo e pensar sobre isso por você mesmo. Então, o teorema do valor máximo nos diz como trabalhamos com intervalos fechados, de modo geral, aqui temos nosso eixo x e uma função que é definida em um intervalo fechado. Temos alguns cenários diferentes para o que a função possa parecer neste intervalo fechado. Podemos atingir um ponto máximo no início do intervalo, como neste aqui; podemos atingir um ponto máximo absoluto no fim do intervalo, como este aqui. Isto no fim do intervalo. Ou, podemos atingir um ponto máximo absoluto em algum lugar daqui. E poderíamos ter algo como isto aqui. E, neste ponto máximo, o declive da reta tangente é zero, então aqui, a derivada é zero. Ou poderíamos ter um ponto máximo em algum lugar daqui, parecido com isto. E se este ponto parecer com isto, aqui a derivada será indefinida. Existem muitas retas tangentes diferentes que você poderia colocar aqui. Então, vamos testar os pontos finais diferentes vamos testar a função no início, no fim do intervalo e então ver se há algum ponto onde a derivada é zero ou é indefinida. E estes pontos onde a derivada é zero ou indefinida nós já vimos. Chamamos de números críticos da função. Então isto seria, se caso não assumíssemos que ocorra com o mesmo número; chamaríamos isto de número crítico. Um número crítico. Então estes são nossos candidatos. Agora, você poderia ter um número crítico aqui onde o declive é zero, algo como isto, mas isto é no máximo ou no mínimo. Mas o que podemos fazer, se pudermos encontrar todos os números críticos, é testar a função para os números críticos e pontos estremos para ver qual deles é o maior. E destes, todos são possíveis candidatos para onde x atinge um valor máximo. Então, primeiro vamos pensar sobre isso. Bem, na verdade, vamos apenas encontrar os números críticos. Então vamos para a derivada de f. f linha de x será igual a derivada do logaritmo natural de x que é um sobre x. Então, teremos oito sobre x. Menos dois x, e vamos definir que isto é igual a zero. Em relação à função, se nos concentrarmos nesta parte bem aqui, podemos adicionar dois x a ambos os lados e e teremos oito sobre x igual a dois x. Ao multiplicar os dois lados por x, teremos oito igual a dois x ao quadrado. Ao dividir os dois lados por dois, teremos quatro igual a x ao quadrado. E se nós simplesmente resolvermos esta equação encontraremos x igual a mais ou menos dois. Agora, vamos dizer que a função só é definida neste intervalo, então menos dois não pertence a este domínio, então vamos focar apenas em x igual a dois. Este bem aqui definitivamente é um número crítico. Será que encontramos todos os números críticos? Bem, este é o único número além do menos dois, o único número no intervalo que fará f linha de x igual a zero. Bem, f linha de x poderia ser indefinido. O único caso em que ele pode ser indefinido é se você colocar um zero bem aqui no denominador. Mas zero não está no intervalo. Então, o único número crítico neste intervalo é x igual a dois. Agora nós só temos que testar f para os diferentes pontos finais, e para o número crítico, e ver qual deles é o maior. Então vamos testar f de um, que é igual a oito vezes o logaritmo natural de um menos um ao quadrado. Testaremos f de quatro, que é igual a oito vezes o logaritmo natural de quatro, menos quatro ao quadrado, que é 16. E agora vamos testar f de dois. Então estes são os pontos finais e este é um número crítico, oito vezes o logaritmo natural de dois, menos dois ao quadrado. Agora vamos ver qual deles é o maior, pode ser necessária uma calculadora, mas vamos ver se conseguimos usar um pouco de intuição aqui. Então, isto aqui, o logaritmo natural de um é zero, e elevado a zero é um, então oito vezes zero é zero, isto vale menos um, vamos agora ver o que isto vale. O logaritmo natural de quatro é 2.7 e por aí vai. Então este número deverá estar entre um e dois. E, bem, entre um e dois, na verdade você vai multiplicar isto por oito, e vai estar entre oito e 16. E então você subtrai 16. Então isto significa que você vai estar entre zero e menos oito. Então é isto, não é tão claro sem utilizar uma calculadora, à grosso modo, e ambos os números são negativos. E agora, sobre isso? Logaritmo natural de dois? O logaritmo natural de dois deve ser uma fração. Deve ser bem mais que um meio e já que é mais do que um meio, tudo isto será maior que quatro, o que significa, que tudo isto deve ser positivo. Então, este é negativo, e este é positivo e estes são nossos únicos números críticos, nossos únicos candidatos para valor máximo. Então, vou neste aqui. Nosso máximo. Nosso valor máximo ocorre quando x é igual a dois. E este valor máximo é oito vezes o logaritmo natural de dois menos quatro. Este é o valor máximo absoluto. Neste domínio onde esta função é definida. Se quiséssemos verificar com uma calculadora, claro que poderíamos. Então já descobrimos este aqui, mas vamos ver. f de quatro é igual a oito vezes o logaritmo natural de quatro menos 16 que é igual a menos cinco. Este definitivamente não é o valor máximo. E então f de dois é igual a oito vezes o logaritmo natural de dois menos quatro, que, como já dissemos, realmente é um número positivo. Gostei do que fizemos. [Legendado por: Raiza Carlos de Souza] [Revisado por: Tatiana F. D'Addio]