Como encontrar os extremos absolutos em um intervalo fechado

RKA3 - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos encontrar extremos absolutos em um intervalo fechado. E, para isso, nós temos esta função que é 8 lnx - x². Onde "x" pertence a este intervalo. Ou seja, o domínio da função é este intervalo. E isso significa que os extremos também fazem parte do domínio. Dada estas informações, eu gostaria de te perguntar, qual é o valor máximo absoluto de "F"? E, claro, eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. Ok, vamos lá! Digamos que nós temos aqui um intervalo fechado onde a função é definida. Nós temos alguns cenários possíveis para o gráfico desta função, nós podemos ter o máximo absoluto no início do intervalo e um mínimo absoluto no final do intervalo. Mas também podemos ter uma função onde o máximo absoluto está no final do intervalo ou, então, nosso máximo absoluto está em algum lugar deste intervalo. Por exemplo, podemos ter uma curva assim, onde este é o ponto máximo. Isso significa dizer que a reta tangente que passa por ele tem inclinação igual a zero. O que significa dizer que a derivada, neste ponto, é igual a zero. Também poderíamos ter algo, mais ou menos, assim. Onde a função faz um bico no seu ponto máximo. E a derivada neste ponto é indefinida, isso porque a inclinação está positiva e, logo em seguida, fica negativa. Na verdade, tem muitas retas tangentes a este ponto, não é? Enfim, tem diferentes cenários para o gráfico da função. E para responder a esta pergunta, nós vamos substituir o "x" na função do início do intervalo e do final. E vamos tentar descobrir valores para "x" onde a derivada é zero ou indefinida. E estes pontos onde a derivada é zero ou é indefinida, nós já vimos. Eles são chamados de pontos críticos da função. Então, estes aqui são os pontos críticos. Claro, você poderia ter um ponto crítico aqui onde a inclinação é zero, mas não seria máximo ou mínimo. Basicamente, o que podemos fazer é encontrar todos os pontos críticos e testar na função. E nós podemos testar estes extremos também, todos eles são candidatos a valor máximo absoluto. Primeiro, vamos encontrar os valores críticos. Para isso, nós devemos encontrar a derivada da função "F". Ou seja, a derivada disso aqui, que é a coisa aqui 8/x menos 2x. E nós igualamos isso a zero. E, com isso, nós vamos ter essa equação, que podemos resolver somando 2x a ambos os membros dela, ficando com 8/x = 2x. E se multiplicarmos ambos os membros da equação por "x", vamos ficar com 8 = 2x². E dividindo ambos os membros dela por 2, vamos ficar com 4 = x². E que se você resolver isso, você vai encontrar "x" igual a mais ou menos 2. Mas como o domínio da função é de 1 até 4, nós consideramos somente x = 2. Então, x = 2. Então, este aqui é o ponto crítico. Mas será que ele é o único? Ou seja, este "x = 2" é o único valor que faz com que a derivada seja zero, já que o -2 não pertence a este intervalo. Mas o que faz com que a derivada seja indefinida? Se você colocar um zero aqui neste denominador, a derivada vai ser indefinida. Mas note que zero não faz parte do intervalo. Com isso, este é o único ponto crítico da função neste intervalo. Agora, o que devemos fazer é substituir valores dentro deste intervalo na função e substituir o ponto crítico e ver qual deles é o maior. Ou seja, nós vamos calcular F(1), que é a mesma coisa que 8ln1 - 1². E F(4) é igual a 8 vezes ln4 - 4². E F(2) é igual a 8 vezes ln2 - 2². E para ver qual deles é o maior, você pode utilizar uma calculadora. Mas vamos tentar deduzir aqui qual é o maior primeiro. Veja bem, o logaritmo natural de 1 é zero. Então, vamos ficar zero vezes 8, que vai dar zero. Então, esta parte dá zero, menos 1² vai ser igual a -1. O logaritmo natural de 3 é, aproximadamente, 1,7. E ln4 está entre 1,2 e 1,6, mais ou menos. E se multiplicarmos por 8, vai ser algo entre 11 e 12, maios ou menos. Ou seja, isto aqui vai ser menor do que 4², que é 16. O que nos diz que o resultado disso é negativo. Enquanto que ln2 está entre zero e 1. E quando multiplicamos por 8, vai ser algo maior do que 2². Portanto, esta subtração vai dar algo positivo. E, claro, F(1) é negativo, não é? Portanto, este aqui é o valor máximo absoluto. Então, quando "x = 2", nós temos o valor máximo da função, que é 8ln2 - 4. Ou seja, este aqui é o máximo absoluto. E, claro, você pode utilizar uma calculadora para confirmar isso. O F(4) vai ser igual a 8 vezes o ln4 - 16, e que vai dar -4,9 e assim por diante. De fato, um número negativo. E o F(2) vai ser igual a 8 vezes o ln2 - 4 = 1,5, aproximadamente. Ou seja, é um valor positivo. De fato, este aqui é o máximo absoluto. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!