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Transcrição de vídeo

nós temos aqui uma função por dominar o gd x em que essa função é de quarto grau o que eu quero mostrar para você nesse vídeo é a idéia de concavidade e observar ao longo de um certo intervalo se essa função tem a concavidade voltada para cima ou se tem a qualidade voltada para baixo para relembrar um pouco da concavidade vamos mostrar que os dois casos quando há concavidade está voltada para cima e quando concavidade está voltada para baixo no caso em que a gente tenha concavidade para cima temos esse caso que isso daqui seria uma concavidade voltada para cima se você observar em diversos pontos aqui ao longo desse intervalo você vai perceber que nesse ponto aqui nós temos uma reta tangente com uma inclinação negativa certo mas você observar um pouco mais abaixo você vai ver que apesar dessa inclinação ainda está negativa ela se tornou menos negativa quando passa por esse ponto mais abaixo que a concavidade anula e após ace ponta com cavidades se torna positiva um pouco mais acima está ainda mais positiva ou seja a inclinação da reta ao longo desse intervalo está ficando cada vez mais positiva ou seja a inclinação está aumentando todas as vezes que a gente tem um caso de ter uma concavidade para cima ea inclinação nesse caso está se tornando mais positiva ou seja está aumentando a derivada dessa função gtx vai ficando cada vez maior isso significa que a segunda derivada dessa função vai ser sempre maior que zero então vamos anotar isso daqui a gente vai ter que que a derivada dirigir the xx aumenta ou seja se torna cada vez mais positiva consequentemente a segunda derivada é maior que zero agora a gente poderia ter um outro caso a gente poderia ter o caso da concavidade virada para baixo dessa forma que certo aqui você vai perceber que se você traçar os pontos conforme a gente fez aqui a inclinação da reta vai ficando cada vez mais negativa ou seja a derivada de gd x de mim conseqüentemente a gente vai ter uma segunda derivada sendo menor que 0 então só pra entender bem se a gente pegar diversos pontos aqui nesse ponto aqui a gente vai ver que a gente tem uma certa inclinação certo uma inclinação positiva depois do outro ponto se torna menos positiva depois menos positiva aqui é igual a zero depois ela se torna negativa depois mais negativa e ainda mais negativa ou seja à medida que nós aumentamos o x a inclinação da reta vai ficando cada vez mais negativa ok o que nós podemos fazer nessa função é de terminar a 1ª ea 2ª derivada e ao longo de um intervalo a gente vai conseguir determinar se a nossa segunda derivado é maior que zero ou menor que 0 e assim saber se a contabilidade é apontada para cima ou se a concavidade apontada para baixo ou simplesmente sem inclinação está indo do positivo para o negativo ou do negativo para o positivo a gente também vai conseguir determinar aqueles pontos em que a gente tem uma determinação ou ainda o ponto em que a inclinação da reta é igual a zero então vamos fazer isso daqui calculando a primeira derivado ea segunda derivada de sigilo de she's a primeira derivada de x gente pode aplicar as propriedades da derivada logo e aqui a gente vai pegar esse 4 passar pra frente então a gente vai ter menos quatro vezes x não esquecendo de subtrair um aqui no expoente 4 - 1 e 3 a mesma coisa que a gente vai passar e dois pra cá multiplicando então a gente vai ter duas vezes 6 que é 12 e subtraíram aqui no expoente 2 - 1 é um é a gente vai ter apenas push e a mesma coisa que um vezes 2002 e aqui vai ter 1 - 1 a 0 e tudo número elevado a 0 é igual então sobra apenas 12 e é que a gente tenha uma constante é derivada de uma constante é sempre igual a zero a gente pode calcular a segunda derivada agora segunda derivada de gd x aplicando as mesmas propriedades aqui a gente vai ter esse 3 multiplicando com esse 43 vezes 4 é 12 e subtraindo aqui nos points a gente vai ter menos 12 vezes x elevado a 3 - 1 que é dois mais dois porque aqui o x tem um aqui no expoente passando aqui pra frente vai ser um vezes 12 o 2 é uma constante é derivada da constante é sempre igual a zero ok agora algo que você precisa fazer nessa segunda derivada encontrar pontos de indeterminação nesse caso como se trata de uma função quadrat cuca não existe nenhum ponto de determinação o domínio corresponde a qualquer valor para x após ter feito isso a gente precisa encontrar o ponto de transição em que a gente tenha do negativo para o positivo ou do positivo para o negativo ou seja quais os valores para x que vão tornar essa função de duas linhas negativa e quais os valores de x que vai tornar essa função g duas linhas positiva uma forma de encontrar esses pontos de transição é igualando sg duas linhas com 10 então a gente vai ter menos 12 x ao quadrado mais 12 igual a zero - doze vezes x ao quadrado mais 12 sendo igual a zero já que esse é o ponto de transição do gido as linhas entre os pontos em que a função é negativa e se torna positiva aqui resolvendo isso aqui subtraindo por 12 dos dois lados a gente vai ter menos duas vezes e x ao quadrado igual a menos 12 / menos 12 dos dois lados da equação a gente tem isso aqui x ao quadrado sendo igual a um ok dessa forma a gente encontra um x que vai ser igual a raiz quadrada de um ea raiz quadrada de um é mais ou menos com agora que já obtemos esses valores aqui que são os pontos em x para a transição entre negativo e positivo ou entre positivo e negativo para o g duas linhas nós podemos observar isso aqui atração numa reta no eixo x e vamos colocar os pontos aqui o ponto zero aqui o ponto menos 11 aqui - dois aqui com e aqui os dois inicialmente vamos observar o intervalo do - infinito até menos um tão todo esse intervalo aqui para traçar bom então a gente tem um intervalo que vai desde o - infinito até o menos um vamos aplicar a segunda derivado em algum ponto desse intervalo por exemplo pode ser o próprio - dois aqui a gente vai ter um g duas linhas no ponto x igual a -2 e isso vai ser igual a gente colocar aqui - 2 ao quadrado a gente vai ter 44 vezes menos 12 é igual a menos 48 - 48 mais 12 é menos 36 então a gente vai ter um valor negativo aqui tendo um valor negativo ou seja a segunda derivada que the xx sendo negativa ou seja menor quiser no a gente cai nesse caso que em que a gente tem uma concavidade voltada para baixo então vamos anotar nesse intervalo a qual cavidade é para baixo agora vamos observar nesse intervalo que entre -1 e um já que aqui ocorre um ponto de transição e o próximo ponto de transição é apenas quando x é igual a um então esse intervalo que vale a pena ser observado o intervalo que vai de menos 1 e novamente vamos escolher um ponto aqui para observar tá bom esse ponto pode ser o próprio 10 que está dentro desse intervalo a gente aplica a segunda derivada nesse ponto como x igual a zero aquecendo zelo anula essa parte sobra apenas o 12 então 12 positivo ou seja gedo as linhas no ponto x igual a zero é igual a 12 doze positivo se é positivo a gente vai ter a segunda da elevada aqui sendo maior que zero quando a segunda derivada de x é maior que zero a gente cai nesse outro caso aqui a concavidade está virada para cima tal gente anota que concavidade para cima como vimos no ponto x igual a gente vai ter uma outra transição nesta segunda derivada e após esse ponto não tem nenhum outro ponto de transição então a gente pode considerar todo esse intervalo aqui do até o mais infinito então nós vamos ter um intervalo indo de kun até o mais infinito aplicamos novamente a segunda derivada algum ponto desse intervalo o que pode ser o próprio 2 e substituindo esse dois aqui novamente a gente vai chegar um valor igual a menos 36 ou seja a segunda derivada dentro desse intervalo é negativa então a segunda derivada de gd x nesse intervalo que vai de 1 até mais infinito é menor que 0 e qual a segunda derivada é menor que 0 novamente a gente cai nesse caso da concavidade voltada para baixo então a concavidade é para baixo é interessante como essa segunda elevada consegue fornecer informações a respeito do gráfico mesmo sem a gente fazer toda uma análise geométrica aqui e eu já até atrás e geográfico antes e vamos comparar se tudo isso que a gente fez aqui faz sentido e se tem uma certa similaridade com o gráfico traçado esse é o gráfico da função gtx partindo aqui detrás do - infinito a gente pode perceber que a gente tem uma inclinação e que essa inclinação vai se tornando cada vez menor menor se torna negativa nesse ponto menor menor menor e menor até chegar nesse ponto com x igual nesse intervalo aqui a gente tem uma concavidade voltada para baixo em que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto está se tornando cada vez menor certo no x igual a menos um agente vai ter um ponto de transição ea inclinação vai voltar a aumentar vai ficando cada vez maior maior maior quer dizer nesse caso aqui vai se tornando cada vez menos negativo ou seja vai se tornando mais positiva aqui é igual a 0 e depois ela vai se tornando cada vez maior mais positiva nesse intervalo como podemos observar a curva tem uma concavidade voltada para cima como vimos aqui novamente chegamos a um ponto de transição x igual a um positivo e nesse ponto essa inclinação vai novamente se tornar menor ficando cada vez menor menor até chegar aqui no ponto que é igual a zero e aqui vai se tornando cada vez mais negativa e isso vai acontecendo até o infinito observa também que nessa parte tem um gráfico com uma concavidade voltada para baixo então a gente conseguiu fazer uma análise ter uma noção desse gráfico apenas utilizando as definições de derivada um pouco de álgebra e isso vai te ajudar a compreender melhor o gráfico de qualquer outra função todas as vezes que você tiver uma função e quiser determinar os pontos de transição a parte em que o gráfico tenha concavidade para cima ea parte que o gráfico tem uma concavidade para baixo é só fazer esse processo calcula a segunda derivada determina os pontos de transição e termine os pontos de determinação caso haja e observa os intervalos entre esses pontos de transição caso segunda derivado em algum ponto dentro desse intervalo de negativa a concavidade daquela curva está voltada para baixo gasto a segunda derivada para um ponto dentro do intervalo deram um valor positivo a colocar a verdade está voltada para cima eu espero que esse tenha gostado dessa aula e até o próximo vídeo
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