If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Erros ao encontrar pontos de inflexão: não verificar candidatos

Candidatos a pontos de inflexão são valores de x onde a derivada de segunda ordem é igual a zero ou indefinido. Mas eles são apenas candidatos! Depois que os encontramos, precisamos testá-los e ver se eles realmente são pontos de inflexão.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos resolver um exemplo sobre erros ao encontrar pontos de inflexão. Esse exemplo diz o seguinte: Olga foi solicitada encontrar onde f(x) igual a (x menos 2) elevado à quarta potência tem pontos de inflexão. Essa daqui é a solução dela. O exemplo pede para olhar a solução de Olga e dizer se ela está correta. Caso contrário, qual foi o erro dela? Então pause este vídeo e veja se você consegue descobrir isso sozinho ou sozinha. OK, vamos observar o trabalho dela agora? Então aqui na primeira etapa ela está calculando a primeira e a segunda derivada da função. A gente consegue calcular a primeira derivada utilizando a regra da cadeia. Assim temos 4 vezes (x menos 2) elevado a (4 menos 1), que é 3, e isso vezes a derivada interna. A derivada de (x menos 2) é 1, sendo assim, temos que realmente a primeira derivada está correta. Agora a gente calcula a segunda derivada também e utilizamos a regra da cadeia para isso. Temos que a derivada da função externa é 3 vezes 4, que é 12, vezes (x menos 2) elevado a (3 menos 1), que é 2, e isso vezes a derivada da função interna, ou seja, derivada de x menos 2, que novamente é 1. Sendo assim, também temos que a segunda derivada está correta. Então a etapa um realizada por Olga está certinha. Chegamos à etapa 2 e vimos que ela disse que a solução para a segunda derivada da função ser igual a zero é quando x é igual a 2. Isso parece certo. A segunda derivada é 12 vezes (x menos 2)² e queremos que isso seja igual a zero. Isso só vai ser verdadeiro quando x for igual a 2, então a segunda etapa está boa. Agora vamos observar a terceira etapa. Na etapa três ela diz que f tem um ponto de inflexão em x igual a 2. Então ela está baseando isso apenas no fato de que a segunda derivada é zero quando x é igual a 2, ou seja, de que f''2 é zero. Porém temos um problema com essa afirmação, porque o fato de a segunda derivada ser zero em x igual a 2 apenas faz o 2 ser um bom candidato a verificar, mas não podemos dizer imediatamente que temos um ponto de inflexão aqui. Não se esqueça que um ponto de inflexão é onde a concavidade se altera, ou seja, a função deixa de ser côncava para cima e fica côncava para baixo, ou deixa de ser côncava para baixo e vira côncava para cima. Falando isso na língua da segunda derivada, isso significa que o sinal da segunda derivada se altera quando atravessamos o ponto que é candidato a ponto de inflexão, ou seja, para esse caso quando atravessarmos x igual a 2. Mas para saber isso temos que realizar um teste e para fazer esse teste precisamos observar alguns valores de alguns intervalos. Então vamos pensar sobre o intervalo quando vamos do infinito negativo até 2 e também vamos pensar no intervalo onde vamos de 2 até o infinito positivo. Agora você pode testar alguns valores destes intervalos. Com isso você pode pensar sobre o sinal da segunda derivada, e com base nisso pensar na concavidade de f. Então vamos pensar no que está acontecendo aqui. Vamos fazer um teste com o valor. Vamos fazer um teste com 1, que está neste intervalo, e também vamos fazer um teste com 3, que está nesse outro intervalo aqui. Fazendo com 1, aqui na segunda derivada teremos (1 menos 2)². Dentro do parênteses teremos -1, mas ao elevar ao quadrado teremos 1 positivo e ao multiplicar isso por 12 teremos +12. Então o sinal da segunda derivada é positivo. Agora vamos tentar com 3. Ao tentar com 3 teremos (3 menos 2)², que é 1 positivo e teremos isso aqui vezes 12, que também vai ser 12 positivo. Então também teremos a segunda derivada sendo positiva neste intervalo. Então teremos que antes do candidato a ponto de inflexão, que é 2, a função sendo côncava para cima e aqui depois do x igual a 2 teremos a função ainda com a concavidade voltada para cima. Pelo menos aqui nesses valores de teste parece que a cada lado de 2 temos um sinal da segunda derivada sendo positiva. Ah, na maioria das vezes você só precisa encontrar valores mais próximos do valor que é candidato, mas se olhar a segunda derivada, você pode ver que isso nunca vai ser negativo. Na verdade, isso é verdade para qualquer valor diferente de x igual a 2. Veja só: mesmo que x menos 2 for negativo, você vai elevar esse valor ao quadrado, o que vai tornar o número positivo. Depois disso a gente vai multiplicar esse valor por um número positivo. Portanto, para qualquer valor diferente de x igual a 2, o sinal da nossa segunda derivada é positivo. Isso significa que ela sempre será côncava para cima e que nós realmente não temos um ponto de inflexão em x igual a 2 porque não estamos trocando de sinal à medida que passamos de valores menores que x igual a 2 para valores maiores que x igual a 2. Nossa segunda derivada não está mudando de lado, então mais uma vez isso aqui está incorreto. Na verdade não temos um ponto de inflexão em x igual a 2 porque a nossa segunda derivada não muda de sinal conforme atravessamos x igual a 2 e isso significa que a nossa concavidade não se altera. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!