Erros ao encontrar pontos de inflexão: segunda derivada indefinida

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos resolver um exemplo sobre erros ao encontrar pontos de inflexão. Este problema diz o seguinte: Roberto buscou encontrar onde g(x) igual à raiz cúbica de x tem pontos de inflexão. Essa daqui é a solução dele. Depois de todas essas etapas é perguntado se o trabalho de Roberto está correto. Se não, qual foi o erro dele? Pause este vídeo e tente descobrir isso por conta própria. OK, vamos fazer isso juntos aqui agora. Aqui está a nossa função g(x) que é igual à raiz cúbica de x e isso é a mesma coisa que x elevado a ⅓. Na primeira etapa, parece que o Roberto está tentando encontrar a primeira e a segunda derivada dessa função. Vamos fazer isso aqui também? Para calcular a primeira derivada basta a gente utilizar a regra da potência. Então temos aqui que isso é igual a ⅓ vezes x elevado a (⅓ menos 1), que realmente é -⅔. Então isso aqui está correto. Agora na segunda derivada multiplicamos esse ⅓ por -⅔, que é realmente -2/9, e então multiplicamos isso por x elevado a (-⅔ menos 1), que de fato é -5/3. Então isso aqui está correto. Ah, e ele ainda reescreveu isso aqui colocando menos na frente, e colocou o número 2 no numerador de uma fração. Um detalhe interessante é que x elevado a -5/3 é igual a x elevado a 5/3 no denominador e isso é igual à raiz cúbica de x⁵. Então tudo isso aqui está ótimo. Está tudo certinho. Agora chegamos na etapa dois. Parece que ele está tentando encontrar a solução, ou ele está tentando encontrar valores para x onde a segunda derivada é igual a zero. De fato é verdade que isso aqui não tem uma solução porque nunca teremos um valor para x que faça a segunda derivada ser igual a zero. Para ser zero, o numerador teria que ser zero, e bem, 2 nunca será igual a zero. Então essa etapa está correta também. Chegamos na etapa três. Ele diz aqui que g não tem quaisquer pontos de inflexão. Bem, isso é um pouco suspeito. Em muitos casos o nosso ponto de inflexão é uma situação onde nossa segunda derivada é igual a zero, e mesmo assim não sabemos se realmente é um ponto de inflexão. A gente teria um candidato ao ponto de inflexão nesse caso. Para confirmar, a gente teria que ter a nossa segunda derivada mudando os sinais quando atravessamos esse valor de x. Só temos um problema: aqui não podemos encontrar uma situação onde nossa segunda derivada seja igual a zero. Então temos que nos lembrar que outros candidatos a ponto de inflexão estão onde temos nossa a segunda derivada sendo indefinida. Sendo assim, ele não pode fazer essa declaração sem ver onde nossa segunda derivada pode ser indefinida. Então, por exemplo, ele poderia dizer que g'' é indefinida quando... O quê? Isso vai ser indefinido quando x for igual a zero. Afinal zero elevado a quinta potência é igual a zero e a raiz cúbica disso também será zero. Mas a gente vai ter uma situação onde estamos dividindo por zero, ou seja, teremos uma indefinição. Sendo assim, g'' é indefinida quando x é igual a zero. Portant,o isso nos leva a dizer que temos um candidato ao ponto de inflexão quando x é igual a zero. Sabendo disso é legal testá-lo. Para fazer isso a gente pode montar uma tabela, aquela tabela que provavelmente você já viu antes, onde temos aqui nosso intervalo, ou nossos intervalos, depois também temos aqui os nossos valores, ou seja, valores que estarão nesses intervalos, mas a precisamos ter cuidado com esses intervalos, porque precisamos ter indicativos. Sendo assim vamos colocar sinais aqui para a segunda derivada. Com o sinal da segunda derivada também podemos observar a concavidade e poderemos dizer se a função possui uma concavidade voltada para cima ou se possui uma concavidade voltada para baixo. Para que x igual a zero seja um ponto de inflexão, temos que trocar os sinais, ou seja, nossa segunda derivada teria que trocar sinais quando atravessamos x igual a zero e isso significaria que nossa concavidade de g mudar os sinais quando atravessamos x igual a zero. Então vamos fazer isso aqui para valores menores que zero? Ou seja, em um intervalo aberto que vai do infinito negativo até zero? Também vamos pegar valores maiores que zero, ou seja, o intervalo aberto que vai de zero até o infinito positivo? Eu posso testar valores aqui nesses intervalos. Por exemplo, vamos dizer que aqui temos -1 e aqui +1. Ah, você precisa ter cuidado quando faz esses testes. Afinal, você tem que ter certeza que estamos perto o suficiente e que nada incomum aconteça entre esses valores de teste e o candidato a ponto de inflexão. Sabendo disso, qual é o sinal de nossa segunda derivada quando x é igual a -1? Quando x é igual a 1 negativo temos aqui -1⁵ e isso é igual a -1. A raiz cúbica de -1 também é -1, sendo assim teremos -²∕₉ dividido por -1. Isso vai ser ²∕₉ positivo. Então nosso sinal vai ser positivo e isso vai ser algo geral quando estamos lidando com qualquer valor negativo porque se você tomar algum valor negativo e o elevar a quinta potência, teremos um valor negativo e ao retirar a raiz cúbica disso também teremos um valor negativo, mas se você pegar um valor negativo e dividir por esse valor negativo teremos como resposta um valor positivo. Então você pode se sentir bem com este teste porque teremos algo assim ao longo de todo esse intervalo. Agora, se você está lidando com o valor positivo, isso elevado à quinta potência será positivo. A raiz cúbica disso ainda será um valor positivo, mas ao dividir -²∕₉ por esse valor positivo, teremos um resultado negativo. Sendo assim esse é um caso em que ao atravessarmos esse valor de x, ou seja, x igual a zero, a nossa concavidade que estava voltada para cima, pelo fato da segunda derivada ser positiva, ficará voltada para baixo pois a partir de x igual a zero temos a segunda derivada sendo negativa. Vamos escrever tudo isso aqui? A segunda derivada muda o sinal quando atravessamos x igual a zero, ou seja, a função muda sua concavidade nesse ponto. Além disso, a nossa função é definida em x igual a zero, portanto temos um ponto de inflexão em x igual a zero. E se estiver familiarizado ou familiarizada com o gráfico da raiz cúbica, você realmente veria um ponto de inflexão neste ponto. Então vamos ver aqui as etapas: Roberto está errado na etapa três. Na verdade há um ponto de inflexão. Não é quando a segunda derivada é igual a zero. Esse ponto está aonde a segunda derivada é indefinida. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que vimos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!