Conexão gráfica entre f, f', e f'' (outro exemplo)

RKA14C Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre a relação entre os gráficos de uma função de sua primeira derivada e de sua segunda derivada. Aqui nós temos três gráficos. O nosso objetivo neste vídeo é descobrir qual é o gráfico da função, qual é o gráfico da primeira derivada, e qual é o gráfico da segunda derivada. Como sempre, pause este vídeo e veja se você pode trabalhar por conta própria antes de fazermos isso juntos. Ok, podemos fazer isso juntos agora? Uma forma de atingir esse objetivo é tentar esboçar o que podemos saber sobre a derivada de cada um desses gráficos. Vamos começar com este primeiro gráfico aqui. Podemos ver a derivada desse gráfico por meio da inclinação da reta tangente. A inclinação começa levemente negativa. A medida que a gente avança, ela vai se tornar cada vez mais negativa. Perceba que, conforme a gente se aproxima desta assíntota vertical, a curva vai tendendo a essa assíntota, a algo que parece ser um infinito negativo. Sendo assim, a derivada que começa sendo um pouco menor do que zero vai ficando cada vez mais e mais negativa. E vai tender ao infinito negativo. Do outro lado, do lado direito dessa assíntota vertical, nós temos algo parecido, só que vamos ter a inclinação da reta tangente sendo muito negativa. A medida que a gente vai avançando, ela vai se tornando cada vez menos negativa, até se aproximar de zero. Sendo assim, a derivada deste lado começa supernegativa e se aproxima de zero, ou seja, tende a zero. Agora, com base no que eu acabei de esboçar, parece que este azul é um bom candidato para ser a derivada do primeiro gráfico. Mas será que você consegue me dizer o que tem de errado com este gráfico azul? Bem, observe aqui que este gráfico azul é positivo. Então, se esse gráfico representasse a derivada do gráfico da função que está à esquerda, isso significaria que o gráfico na esquerda precisaria de uma inclinação positiva aqui no início. Mas, claramente, ela não tem uma inclinação positiva. Na verdade, ela é inicialmente um pouco negativa. A medida que avançamos, a inclinação vai se tornando supernegativa. Agora, neste terceiro gráfico, temos algo ligeiramente negativo, que depois se torna muito negativo. Sendo assim, talvez este aqui seja f, e talvez este terceiro gráfico seja f'. Agora, vamos olhar para o gráfico do meio. Como deve ser a sua derivada? O que a sua derivada faria? Aqui, a nossa inclinação é ligeiramente negativa, e vai se tornando mais e mais negativa. Sendo assim, a derivada disso tem que ser ligeiramente negativa, e ficar cada vez mais negativa a medida que nos aproximamos desta assíntota vertical. Do lado direito da assíntota vertical, a inclinação começa sendo muito positiva e, conforme a gente vai avançando, ela fica cada vez menos positiva. Ou seja, começamos com a nossa derivada sendo muito positiva, e ela vai ficar cada vez menos positiva. Inclusive, a inclinação vai continuar positiva, mas tendendo a zero. Então, o nosso gráfico vai se parecer com isto aqui. Bem, o gráfico à esquerda se parece muito com o que eu acabei de esboçar. Então, ele é um bom candidato para representar a derivada deste gráfico azul que está aqui no meio. Este gráfico, então, seria a função, e isso faria com que este f aqui da esquerda se transformasse em f'. Então, já estabelecemos que este gráfico é a derivada do gráfico do meio. Sendo assim, mesmo que isso não seja f', pode ser f''. Então, eu me sinto bem quanto a este primeiro gráfico ser a derivada do segundo gráfico. Apenas para garantir, a gente pode pensar em como seria o gráfico da derivada deste outro gráfico aqui. Aqui, a inclinação é ligeiramente negativa. A medida que avançamos, fica cada vez mais e mais negativa. Então, a derivada teria uma forma semelhante aqui. Aqui, a nossa derivada seria muito positiva. Conforme avançássemos, ela ficaria cada vez menos positiva. Ou seja, ela começa muito positiva, e fica cada vez menos positiva. De uma forma geral, esta derivada se parece muito com este primeiro gráfico aqui. Mas o motivo de eu não dizer que este primeiro gráfico é a derivada do gráfico à direita é porque este gráfico aqui à direita foi um bom candidato a ser a derivada deste gráfico aqui à esquerda. Ou seja, eu me sinto muito bem com o que selecionamos, em que este gráfico aqui do meio é f, o gráfico à esquerda é a primeira derivada, e o gráfico à direita é a segunda derivada. Enfim, meu amigo ou minha amiga, espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que nós vimos aqui. Mais uma vez, quero deixar para você um grande abraço. Até a próxima!