Justificativa usando a derivada de primeira ordem

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos resolver dois exemplos sobre a primeira derivada. O primeiro exemplo diz o seguinte: a função diferenciável f e sua derivada f' são representadas graficamente. Aqui nós temos um gráfico onde y igual a f(x) está representado aqui em azul e também temos f' que está representado aqui com uma cor alaranjada. Continuando, qual é a justificativa apropriada, baseada em cálculo, para o fato de que f está diminuindo quando x é maior que 3? Podemos ver que na verdade esse realmente é o caso. Quando x é maior que 3 temos que nossa função está realmente diminuindo, ou seja, à medida que x aumenta, o valor y, o valor da função, diminui. Agora uma boa justificativa baseada em cálculos, sem nem mesmo olhar para as alternativas, é observando a derivada. A função diminui se a inclinação da reta tangente é negativa. Isso significa que a derivada é negativa e podemos ver isso aqui: quando x é maior que 3, a derivada é maior que zero. Então essa é minha justificativa, e olha que eu nem olhei ainda para as alternativas. Sendo assim eu diria que para x maior que 3, f'(x) é menor que zero. Essa seria minha justificativa sem nem olhar para as alternativas. Mas vamos ver as opções agora. f' está diminuindo quando x é maior que 3? Bem, isso não está certo. O que nos interessa é se f' é positiva ou negativa. Se f' for negativa, se for menor que zero, então a função está diminuindo, ou seja, a inclinação da reta tangente será negativa. Ah, um detalhe: f' pode ser positiva enquanto diminui. Por exemplo, f' poderia estar fazendo algo assim. E embora f' esteja diminuindo nessa situação, o valor real da derivada seria positivo, o que significa que a função estaria aumentando nesse cenário. Então eu vou descartar esta opção. A próxima: para valores de x maiores que 3, conforme os valores de x aumentam, os valores de f(x) diminuem. Isso é realmente verdade. Essa é realmente a definição para f estar diminuindo: conforme os valores de x aumentam, os valores de f(x) diminuem. Mas isso não é uma justificativa baseada em cálculo. Então eu vou descartar essa alternativa aqui também. A próxima alternativa, agora: f' é negativo quando x é maior que 3. Isso é realmente o que escrevi aqui. Se f' é negativo, isso significa que a inclinação da reta tangente da nossa função original f vai ser inclinada para baixo, ou que nossa função está diminuindo. Então isso aqui parece bom. Essa aqui diz que f'(0) é igual a 3 negativo. Essa alternativa está apenas apontando esse ponto. Isso não é relativo ao intervalo que nos interessa. Aliás, isso nem é relevante para quando x é maior que 3. Então definitivamente vamos descartar essa alternativa. Legal, mas vamos para o segundo exemplo agora. Aqui também somos informados que a função diferenciável g e a sua derivada g' são representadas graficamente. Mais uma vez g está nessa cor azulada e g', que é a derivada, está aqui nessa cor alaranjada. Qual é a justificativa apropriada, baseada em cálculo, para o fato de que g tem um ponto mínimo relativo em x igual a -3? Olhando aqui no gráfico realmente podemos perceber que quando x é igual a -3, g é igual a -6. E aparentemente esse ponto realmente é um ponto de mínimo. Então qual é a melhor justificativa? Mais uma vez, sem olhar para as alternativas, eu diria que uma boa justificativa é que antes de chegarmos a x igual a -3, nossa derivada é negativa e depois de x igual a -3 nossa derivada é positiva. Essa seria minha justificativa e ela é uma justificativa baseada em cálculo porque se nossa derivada for negativa antes desse valor, isso significa que estamos com a inclinação voltada para baixo antes desse valor e se for positiva depois desse valor, isso significa que estamos com a inclinação voltada para cima depois desse valor. E isso, sem dúvida, é uma boa justificativa para o fato de que estamos com o ponto mínimo bem ali. Agora vamos ver as alternativas: o ponto onde x é igual a -3 é o ponto mais baixo aqui no gráfico de g em seu intervalo circundante? Isso é verdade, mas isso não é uma justificativa baseada em cálculo. Você nem teria que olhar para a derivada para fazer essa declaração. Então vamos descartar essa daqui. g' tem um máximo relativo em 0,3? g' realmente tem um ponto máximo relativo em 0,3, mas isso não nos diz nada sobre se estamos em um ponto mínimo relativo em x igual a -3, então eu descarto essa opção aqui também. g'(-3) é igual a zero? Então, g'(-3) é igual a zero, e isso aqui nos diz que a inclinação da reta tangente da função vai ser zero bem aqui, mas isso por si só não é suficiente para dizer que estamos em um ponto mínimo relativo. Por exemplo, eu poderia estar em um ponto que faz alguma coisa assim onde temos uma reta tangente para cima, depois fica zero e depois volta a ficar para cima, ou seja, a função volta aumentar. Ou ainda algo assim, onde a inclinação fica zero e depois continua descendo. Então mesmo que você esteja em um ponto onde a inclinação da reta tangente é zero, isso não significa que você está em um ponto mínimo relativo. Então eu descarto essa opção aqui também. A última agora: g' cruza o eixo x de baixo para cima em x igual a -3. g' cruza o eixo x de baixo para cima, então g' deixa de ser negativa e passa a ser positiva. Isso significa que a inclinação das retas tangentes de nossos pontos, conforme nos aproximamos de x igual a -3, deixa de ser inclinada para baixo e passa a ser inclinada para cima. Isso é uma ótima justificativa para o fato de estarmos em um ponto de mínimo relativo. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido direitinho o que conversamos e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!