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Análise de problemas envolvendo taxas de variação em contextos aplicados

O cálculo diferencial diz respeito à taxa de variação instantânea. Vamos ver como isso pode ser usado para resolver problemas reais.
Uma maneira de interpretar a derivada f de uma função f é que f(k) é a taxa de variação instantânea de f em x=k. Vejamos como essa interpretação pode ser usada para resolver problemas.
Digamos que um tanque de água esteja sendo enchido e o volume, em litros, de água no tanque depois de t segundos é dado pela função linear V1(t)=23t.
O coeficiente angular da função, 23, representa sua taxa de variação. Em outras palavras, o tanque está sendo enchido a uma taxa de 23 litros por segundo.
A taxa de variação de uma função linear é sempre constante, o que a torna relativamente fácil de analisar.
Agora, digamos que um tanque diferente esteja sendo enchido e que agora a função do volume V2(t)=0,1t2 não é linear.
Observe como o crescimento do gráfico é gradual no início e passa a ser mais íngreme no final. A taxa de variação de V2 não é constante.
Se quisermos analisar a taxa de variação de V2, podemos falar sobre sua taxa de variação instantânea em determinado momento. A taxa instantânea variação de uma função é dada por sua derivada.
V2(t)=0,2t
Por exemplo, V2(5)=1. Matematicamente, isso significa que a inclinação da reta tangente ao gráfico de V2 quando x=5 é 1. O que isso significa no contexto do nosso tanque de água?
A inclinação da reta tangente indica a inclinação da curva naquele ponto específico no tempo. Como já vimos como a inclinação nos dá a taxa de variação, podemos interpretar V2(5)=1 da seguinte forma:
Em t=5 segundos, o tanque está sendo enchido a uma taxa de 1 litro por segundo.
Perceba algumas coisas sobre essa interpretação:
Primeiramente, a taxa é dada em litros por segundo. As unidades de uma derivada são sempre uma razão da quantidade dependente (por exemplo, litros) sobre a quantidade independente (por exemplo, segundos).
Em segundo lugar, a taxa é dada para um ponto específico no tempo (ou seja, t=5 segundos). Isso se dá porque ela é instantânea. Pegue outro ponto no tempo e a taxa pode ser diferente. Observe um intervalo de tempo e a taxa não será constante.
Problema 1.A
No conjunto de problemas 1, analisaremos o seguinte contexto:
Lindalva caminha de volta para casa da escola. Sua distância da escola, em metros, depois de t minuto(s) é modelada pela função diferenciável D.
Quais unidades devemos usar para medir D(t)?
Escolha 1 resposta:

Problema 2
H dá a altura de uma árvore, em centímetros, t semanas depois que ela foi plantada.
Quatro estudantes foram convidados a interpretar o significado de H(5)=3 nesse contexto.
Você consegue fazer a correspondência entre os comentários do professor e as interpretações?
1

Erro comum: esquecer de incluir unidades ou usar unidades incorretas

Lembre-se: quando analisamos problemas em contextos aplicados, devemos nos lembrar de sempre usar unidades.
Por exemplo, no Problema 2, H recebeu uma entrada que foi medida em semanas e nos deu uma saída que é medida em centímetros. Sua derivada H também nos dá uma entrada medida em semanas, mas sua saída é a taxa centímetros por semana.

Outro erro comum: usar frases que se referem "ao longo de um período de tempo" em vez de "em determinado momento"

Derivadas sempre tratam de taxas de variação instantâneas. Portanto, quando estamos interpretando a taxa de variação de uma função, dado o valor de sua derivada, estamos sempre nos referindo a um ponto específico em que essa taxa se aplica.

Como resolver problemas que envolvem taxas de variação instantâneas

Considere o problema a seguir:
Carlos tomou a dose inicial de um remédio. A quantidade de remédio, em miligramas, na corrente sanguínea de Carlos depois de t horas é dada pela seguinte função:
M(t)=20e0,8t
Qual é a taxa de variação instantânea da quantidade de medicamento restante depois de 1 hora?
A primeira coisa que devemos pensar ao ler esse problema é que temos que encontrar uma taxa de variação instantânea de uma grandeza. Isso significa que vamos trabalhar com derivadas.
A única função cuja derivada nós vamos usar é M, mas vamos nos assegurar que é isso que queremos: M nos dá a quantidade de medicação na corrente sanguínea de Carlos ao longo do tempo e temos que encontrar a taxa de variação instantânea dessa quantidade. Então sim, nós queremos M:
M(t)=16e0,8t
Temos que encontrar a taxa de variação instantânea depois de 1 hora, o que significa que queremos calcular M em t=1:
M(1)=16e0,87,2
Finalmente, precisamos nos lembrar de usar unidades. Como M nos dá uma quantidade em miligramas para uma determinada entrada em horas, a unidade com que medimos M é miligramas por hora.
Concluindo, a taxa instantânea de mudança do restante da medicação depois de 1 hora é de 7,2 miligramas por hora.
Problema 3
C nos dá o custo, em reais, para uma empresa destruir w quilogramas de documentos confidenciais.
C(w)=0,001w30,15w2+7,5w
Qual é a taxa de variação instantânea do custo quando o peso dos documentos é de 10 quilos?
Escolha 1 resposta:

Quer praticar mais? Tente este exercício.

Erro comum: resolver a função original em vez da derivada

Lembre-se: quando nos perguntam sobre a taxa de variação de uma função f, queremos procurar a derivada f. Calcular f em determinado ponto não nos dará nenhuma informação sobre a taxa de variação de f nesse ponto.

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  • Avatar blobby green style do usuário dragonightbr
    esta acumuando neve na forma de uma bola esferica,se o formato da bola é mantido, determine a razão instatanea de variação
    (a) do volume de neve em relação ao raio da bola, no instante que esse é 8 cm
    (b) De variação da area da superficie da bola em relação ao seu diametro, no instante em que o raio e 3cm
    (2 votos)
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  • Avatar blobby green style do usuário FABIO Oliveira
    Tenho um restaurante e no ano vendo 1200 latas de um refrigerante, sabendo que o custo de armazenar uma lata é de 8r$, com custo de trasnporte de 75r$, e consederando o estoque medio para resolver essa questão.
    Qual a melhor opção para fazer pedidos, um numero de pedidos maiores ou menores?
    (1 voto)
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