Exemplo resolvido: Problemas de movimento com derivadas

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos resolver um exemplo sobre movimentos com derivadas. Essa questão diz o seguinte: uma partícula move-se ao longo do eixo x. A função x(t) dá a posição da partícula a qualquer momento em que t é maior ou igual a zero. A questão fornece o x(t) bem aqui. Qual é a velocidade v(t) da partícula em t igual a 2? Bem, meu amigo ou minha amiga, pause este vídeo e veja se você consegue descobrir isso. Foi? Vamos fazer juntos agora? O ponto principal aqui é perceber que a velocidade em função do tempo é a derivada da posição. Isso vai ser igual a... Nós apenas pegamos a derivada em relação a t dessa função aqui em cima. Portanto, a derivada de t³ em relação a t é 3 vezes t². Se isso não é familiar para você, eu aconselho que você revise sobre a regra da potência, tudo bem? Vamos lá. Continuando. A derivada de -4t² em relação a t é -8t. A derivada de 3t em relação a t é mais 3. Como uma constante não sofre variação do decorrer do tempo, a derivada de uma constante em relação ao tempo é apenas zero. Agora temos a velocidade em função do tempo. Se a gente quiser saber qual é a nossa velocidade em um tempo t igual a 2, basta substituir o 2 em qualquer lugar que a gente veja o tempo. Então a gente terá aqui 3 vezes 2². 2² é 4, e 3 vezes 4 é 12. -8 vezes 2, que é 16, mais 3. Resolvendo isso temos 12 menos 16 mais 3, que é igual a -1. Você pode até dizer que -1 por si só não soa como uma velocidade, mas isso indica que a partícula está se movendo no sentido contrário à orientação do eixo x. Por exemplo, se a questão tivesse dado unidades de medidas e x estivesse em metros e o tempo em segundos, a velocidade seria a -1 metro por segundo. E o que esse negativo significa? Esse negativo, como eu falei, significa que ele está se movimentando para a esquerda, já que essa partícula está se movimentando ao longo do eixo x. Então se a velocidade for negativa, isso significa que x está diminuindo, ou seja, estamos indo para a esquerda. Vamos ver a próxima pergunta? Qual é a aceleração a(t) da partícula t igual a 3? Pause este vídeo e tente fazer isso novamente. E então, conseguiu agora? Se não, não tem problema. Vamos fazer juntos. A ideia aqui é lembrar que a aceleração é uma função do tempo e que é apenas a derivada da velocidade em relação ao tempo, que é igual a segunda derivada da posição. Então basta derivar essa expressão da velocidade aqui. Derivando, a gente tem o seguinte: a derivada de 3t² é 2 vezes 3, vezes t, que é 6t, a derivada de -8t é apenas -8, e a derivada de 3, que é uma constante, é apenas zero. Agora basta substituir o t por 3 para encontrar a aceleração no instante de tempo igual a 3. Sendo assim, temos que a aceleração é igual a 6 vezes 3, que é 18, menos 8. 18 menos 8 é igual a 10 positivo. Beleza? Continuando aqui. Agora a questão pergunta qual a direção e o sentido do movimento da partícula em t igual a 2. Eu já falei sobre isso, mas pause este vídeo e veja se você consegue responder sozinho ou sozinha. Vamos fazer aqui. Já olhamos isso nesse sinal que está bem aqui. O fato da gente ter um sinal negativo em nossa velocidade significa que estamos indo para a esquerda, justamente pelo fato do x estar orientado para direita. Então, como eu falei, a partícula está se movimentando na direção x, na horizontal, com sentido para o lado negativo, ou seja, para a esquerda. A próxima pergunta: em t igual a 3, a rapidez da partícula está aumentando, diminuindo ou nenhum dos dois? Novamente pause o vídeo e tente resolver. Aqui a gente precisa tomar muito cuidado porque se a questão tivesse perguntado se a velocidade está aumentando, diminuindo ou se nada está acontecendo, bastaria apenas a gente olhar aceleração. Como a aceleração é positiva, a gente saberia que a velocidade está aumentando. Mas aqui não está falando da velocidade. Está falando da rapidez. Apenas como um lembrete, rapidez é a magnitude da velocidade. Então, por exemplo, em um tempo t igual a 2, nossa velocidade é negativa. Se as unidades fossem metros e segundos, seria um metro por segundo negativo, mas nossa rapidez seria apenas um metro por segundo. Quando falamos de rapidez, não estamos falando sobre a direção e sentido. Então você não teria aquele sinal ali. Sendo assim, para a gente descobrir se a rapidez está aumentando, diminuindo ou nenhum dos dois, se a aceleração for positiva e a velocidade também for positiva, isso significa que a magnitude da velocidade está aumentando. E isso quer dizer que a rapidez está aumentando. Se a velocidade for negativa e a aceleração também for negativa, isso também significa que a rapidez está aumentando. Mas se a velocidade e aceleração têm sinais diferentes, isso significa que a rapidez está diminuindo. A magnitude da velocidade seria cada vez menor. Então vamos olhar para nossa velocidade no momento t igual a 3. Para a gente encontrar nossa velocidade no instante de tempo igual a 3, basta a gente substituir por 3 nessa função da velocidade. Então a gente vai ter aqui 3 vezes 3², que é 3 vezes 9, que é 27. Isso menos 8 vezes 3, que é 24, mais 3. 27 menos 24, mais 3, é igual a 6 positivo. Portanto, a nossa velocidade e aceleração possuem o mesmo sinal, ou seja, possuem a mesma direção e sentido aqui nesse caso. Ambas são positivas. Então nossa velocidade vai se tornar cada vez mais positiva, ou seja, a magnitude da nossa velocidade só vai aumentar. Portanto nossa rapidez está aumentando. Se nossa velocidade fosse negativa em t igual a 3, então nossa rapidez estaria diminuindo, porque a aceleração e a velocidade estariam com sentidos diferentes. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui, e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!