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Introdução ao movimento unidimensional com cálculo

O movimento em linha reta pode ser modelado dando a posição em função do tempo. O cálculo nos ajuda a aprender sobre velocidade escalar, velocidade vetorial e aceleração, tudo a partir do nosso conhecimento sobre a mudança de posição.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos começar a pensar sobre como descrevemos a posição em uma dimensão em função do tempo. Então, para começar, podemos pensar sobre a posição no eixo x em função do tempo e podemos definir essa relação com alguma expressão. Nessa situação teremos isso sendo igual ao tempo elevado ao cubo menos 3 vezes o nosso tempo ao quadrado, mais 5. Isso vai ser aplicar a todo o tempo não negativo, ou seja, em "t" maior ou igual a zero. Isso é importante porque, pelo menos por enquanto, a ideia de tempo negativo é um pouco estranha. Vamos pensar sobre o que isso está descrevendo. Para nos ajudar a fazer isso, podemos colocar uma pequena tabela com o tempo que, digamos, esteja em segundos, e aqui na segunda coluna podemos colocar a posição ao longo do eixo x. Então no tempo igual a zero, x(0) vai ser apenas 5. E no instante de tempo igual a um segundo? Temos 1³, que é 1, menos 3 vezes 1², que é 3, mais 5. Isso é igual a 1 menos 3, que é -2, mais 5, que é igual a 3 positivo. No instante de tempo igual a 2 segundos, temos 8 menos 12, mais 5, que é igual a 1. Por último, no instante de tempo igual a 3, temos 27 menos 27, mais 5, que é igual a 5, ou seja, estaremos de volta à posição cinco metros. Isso pode nos ajudar a entender o que está acontecendo nos primeiros três segundos. Mas que tal agora a gente desenhar o nosso eixo x positivo? Porque assim a gente vai compreender um pouco melhor. Temos aqui algo mais ou menos assim: isso aqui é x igual a zero, e esse é o nosso eixo x. Aqui temos x igual a 1, x igual a 2, x igual a 3, x igual a 4, x igual a 5 e agora vamos ver como essa partícula, que está sendo descrita por essa função, vai se mover ao longo desse eixo x. Comecemos aqui e vamos para essa posição três. Depois vamos para a posição um e depois vamos para a posição cinco novamente. A maneira que eu acabei de mudar o meu mouse, se a gente assumir que eu acertei aqui no tempo, é como essa partícula vai se mover, e podemos fazer um gráfico disso também. Então, por exemplo, seria assim. Estamos começando aqui no tempo t igual a zero. Nossa posição está aqui no eixo vertical, no nosso eixo Y, mas apenas estamos dizendo que será igual à nossa posição ao longo do eixo x. Isso é um pouco contraintuitivo, porque estamos falando sobre nossa posição na dimensão esquerda-direita e aqui você está vendo o começo na dimensão vertical. Mas é a mesma coisa, só uma descrição diferente. Enfim, no momento t igual a 1 nossa posição caiu para 3, então desce ainda mais. No tempo igual a 2, nossa posição é reduzida a 1, então mudamos de direção e no próximo, se nosso tempo está em segundos, no nosso próximo segundo voltamos aqui para 5. Uma coisa interessante para se pensar no contexto do cálculo é: "Qual é a nossa velocidade em um determinado momento?" Como você deve se lembrar, a velocidade é a derivada da posição. Então deixe-me escrever isso aqui e pensar sobre a velocidade em função do tempo. Você pode ver a velocidade como sendo a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Então isso é igual a... Vamos aplicar a regra da potência a algumas propriedades das derivadas. Se isso não é familiar para você, eu aconselho que reveja um pouco sobre esse assunto. Isso vai ser 3t² menos 6t e depois mais zero. Vamos restringir isso aqui também ao domínio para t maior ou igual a zero. Podemos traçar isso aqui no gráfico e teremos algo assim. Agora vamos ver se intuitivamente essa curva faz sentido. Então estamos começando a nos mover para a esquerda e a convenção diz que se está se movendo para a esquerda, você tem uma velocidade negativa e se estiver indo para a direita, você terá uma velocidade positiva. Você pode ver que aqui a nossa velocidade fica mais e mais negativa até chegarmos a um segundo e ela continua negativa, mas está ficando menos e menos negativa até a gente chegar a dois segundos. Quando a gente está em dois segundos, a nossa velocidade se torna positiva e isso faz sentido, porque aqui em dois segundos foi quando nossa velocidade mudou de sentido, da esquerda para direita. Pelo que vimos, nossa velocidade fica cada vez mais negativa, depois fica cada vez menos negativa e mudamos de sentido. Nós vimos isso bem aqui. Agora uma coisa para manter em mente quando estamos pensando sobre velocidade em função do tempo é que velocidade e rapidez são duas coisas diferentes. Vamos escrever isso aqui. A rapidez, se você estiver pensando sobre isso em uma dimensão, será igual ao valor absoluto da velocidade em função do tempo, ou a magnitude da velocidade em função do tempo. Então no começo, mesmo que sua velocidade esteja se tornando cada vez mais negativa, a rapidez, ou módulo da velocidade, está aumentando. A rapidez está aumentando para a esquerda e depois ela diminui. Você desacelera. Depois o sentido muda e a rapidez vai aumentando novamente conforme a gente vai ser movimentando para a direita. Depois a gente vai ver mais alguns exemplos sobre isso. O último conceito que nós vamos conversar neste vídeo é a ideia de aceleração. A aceleração você pode ver como uma taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Portanto, a aceleração em função do tempo será apenas a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo, que é igual a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, vai ser a derivada dessa expressão. Mais uma vez usando a regra da potência, isso vai ser igual a 6 vezes t e usando a regra da potência aqui temos -6. Novamente a gente vai restringir o domínio. Então vamos ter aqui que t é maior ou igual a zero. Podemos observar o gráfico disso aqui também. Isso aqui é y igual à aceleração em função do tempo e você pode observar que no tempo igual a zero nossa aceleração é muito negativa, é -6. À medida que o tempo passa, ela se torna cada vez menos negativa. Quando estamos em t igual a 1, a nossa aceleração se torna positiva. Agora vou te fazer uma pergunta: isso faz sentido? Você vai dizer: "Espere, nós não mudamos de direção até chegarmos ao segundo segundo. Então o que aconteceu aqui?" Lembre-se: depois de chegarmos ao primeiro segundo, a nossa velocidade no sentido negativo se tornou cada vez menos negativa, o que significa que nossa aceleração é positiva. Se isso é um pouco confuso, pause o vídeo e realmente pense um pouco sobre isso. Continuando: nossa aceleração é negativa, depois se torna positiva e então continua positiva. Tudo isso que vimos é apenas uma pequena discussão de forma intuitiva sobre posição, velocidade e aceleração. Nos próximos vídeos, vamos fazer vários exemplos para mergulhar mais fundo nessa ideia de estudar movimento e posição em uma dimensão. Eu espero que você tenha compreendido direitinho tudo o que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!