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Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 4

Lição 4: Introdução às taxas relacionadas

Análise de problemas envolvendo taxas relacionadas

Problemas de taxas relacionadas são problemas nos quais raciocinamos sobre a taxa de variação de uma grandeza usando as informações que temos sobre a taxa de variação de outra grandeza relacionada. Vamos nos familiarizar com esse tipo de problema.

Problemas de taxas relacionadas são problemas aplicados nos quais devemos calcular a taxa na qual uma grandeza muda em relação a outras grandezas cujas taxas são conhecidas.

Exemplo de resolução de um problema de taxas relacionadas

Imagine que temos o seguinte problema:

O raio $r (t)$ ‍ de um círculo está aumentado a uma taxa de $3$ ‍ centímetros por segundo. Em determinado instante $t_{0}$ ‍, o raio é de $8$ ‍ centímetros.

Qual é a taxa de variação da área $A (t)$ ‍ do círculo neste instante?

Desenvolvimento do conceito de grandezas e suas taxas

No geral, estamos lidando aqui com um círculo cujo tamanho está mudando com o tempo. Exitem duas grandezas mencionadas nesse problema:

r (t)

é o raio do círculo depois de

t

segundos. Ele é medido em centímetros.

A (t)

é a área do círculo depois de

t

segundos. Ela é medida em centímetros quadrados.

O problema também se refere às taxas dessas grandezas. A taxa de variação de cada grandeza é dada por sua derivada:

r^{'} (t)

é a taxa instantânea na qual o raio muda com o tempo

t

. Isso é medido em centímetros por segundo.

A^{'} (t)

é a taxa instantânea na qual a área muda no tempo

t

. Ela é medida em centímetros quadrados por segundo.

Observe que temos que

r (t)

é medido em centímetros e que

r^{'} (t)

é medido em centímetros por segundo, mas não temos as unidades para

A (t)

e para

A^{'} (t)

No entanto, podemos presumir, baseados no problema, que a área

A (t)

é medida em centímetros quadrados (pois o raio é medido em centímetros). Além disso,

A^{'} (t)

deve ser medida em centímetros quadrados por segundo, pois ela é a derivada de

A (t)

Entendendo as informações dadas

Temos que o raio está aumentando a uma taxa de

3

centímetros por segundo. Isso significa que

r^{'} (t) = 3

para qualquer valor de

t

Também temos que em um determinado instante

t_{0}

o raio é de

8

centímetros. Isso significa que

r (t_{0}) = 8

. Observe que isso é válido apenas para

t_{0}

e não para qualquer valor de

t

Finalmente, nos pediram para calcular a taxa de variação de

A (t)

no instante

t_{0}

. Matematicamente, estamos buscando

A^{'} (t_{0})

Relacionamento entre a área e o raio

Depois que nós entendemos as grandezas relevantes, podemos procurar uma equação, ou fórmula, que as relacione. As grandezas no nosso caso são a área e o raio de um círculo. Essas grandezas são relacionadas usando a fórmula da área de um círculo:

A = π r^{2}

Derivação

Para calcular

A^{'} (t_{0})

nós temos que derivar os dois lados da equação. Uma vez feito isso, nós poderemos relacionar

A^{'} (t_{0})

com outros valores conhecidos, como

r^{'} (t_{0})

, o que nos permite calcular

A^{'} (t_{0})

Como nós não temos as fórmulas explícitas para

A (t)

r (t)

, usaremos diferenciação implícita:

\begin{aligned} A (t) & = π [r (t)]^{2} \\ \frac{d}{d t} [A (t)] & = \frac{d}{d t} [π [r (t)]^{2}] \\ A^{'} (t) & = 2 π r (t) r^{'} (t) \end{aligned}

Esse é o coração da nossa solução: ao relacionar grandezas (ou seja,

A

r

), nós somos capazes de relacionar suas taxas (ou seja,

A^{'}

r^{'}

) usando diferenciação. Essa é a razão pela qual chamamos esses problemas de "taxas relacionadas"!

Solução

Observe que a equação que nós obtemos é verdadeira para qualquer valor de

t

e especificamente para

t_{0}

. Nós podemos substituir

r (t_{0}) = 8

r^{'} (t_{0}) = 3

nessa equação:

\begin{aligned} A^{'} (t_{0}) & = 2 π r (t_{0}) r^{'} (t_{0}) \\ = 2 π (8) (3) \\ = 48 π \end{aligned}

Concluindo, nós calculamos que em

t_{0}

a área está aumentando a uma taxa de

48 π

centímetros quadrados por segundo.

Problema 1.A

O conjunto de problemas 1 irá levá-lo através das etapas para analisar o seguinte problema:

A base $b (t)$ ‍ de um triângulo está decrescendo a uma taxa de $13$ ‍ $m/h$ ‍ e a altura $h (t)$ ‍ do triângulo está crescendo a uma taxa de $6$ ‍ $m/h$ ‍. Em um certo instante $t_{0}$ ‍, a base é $5$ ‍ $m$ ‍ e a altura é $1$ ‍ $m$ ‍. Qual é a taxa de variação da área $A (t)$ ‍ do triângulo nesse instante?

Faça a correspondência entre cada expressão e suas unidades.

	$m$ ‍	$m/h$ ‍	$m^{2}$ ‍	$m^{2} /h$ ‍
$b^{'} (t)$ ‍
$A (t_{0})$ ‍
$h (t_{0})$ ‍
$\frac{d A}{d t}$ ‍

Quer praticar mais? Tente este exercício.

Erro comum: confundir quais expressões são variáveis e quais são constantes

Como vimos, problemas de taxas relacionadas envolvem múltiplas expressões. Algumas representam grandezas e algumas representam taxas. Algumas estão mudando e outras permanecem constantes.

É importante ter certeza de que você compreendeu o significado de todas as expressões e que está apto a atribuir seus valores apropriados (quando dados).

Nós recomendamos realizar uma análise similar às mostradas no exemplo e no conjunto de problemas 1: quais são as grandezas relevantes? Quais são as suas taxas? Quais são as suas unidades? Quais são os seus valores?

Problema 2

Considere este problema:

Dois carros estão se aproximando de um cruzamento vindos de direções perpendiculares. A velocidade do primeiro carro é de $50 km/h$ ‍ e a velocidade do segundo carro é de $90 km/h$ ‍. Em um certo instante $t_{0}$ ‍, o primeiro carro está a uma distância $x (t_{0})$ ‍ de $0, 5 km$ ‍ do cruzamento e o segundo carro está a uma distância $y (t_{0})$ ‍ de $1, 2 km$ ‍ do cruzamento. Qual é a taxa de variação da distância $d (t)$ ‍ entre os carros nesse instante?

Qual equação pode ser usada para resolver o problema?

Erro comum: escolher uma equação que não representa corretamente o problema dado

Como você viu, a equação que relaciona todas as distâncias desempenha um papel crucial na solução do problema. É geralmente útil desenhar algum tipo de diagrama que descreva a situação, com todas as grandezas relevantes. Vamos pegar o Problema 2 como exemplo. O problema descreve um triângulo retângulo.

O diagrama deixa claro que a equação que estamos procurando relaciona todos os três lados do triângulo, o que pode ser feito usando o teorema de Pitágoras:

[d (t)]^{2} = [x (t)]^{2} + [y (t)]^{2}

Sem o diagrama, podemos acidentalmente tratar

d (t)

como a área do triângulo...

d (t) = \frac{x (t) \cdot y (t)}{2}

... ou tratar

x (t)

y (t)

, e

d (t)

como se fossem os três ângulos do triângulo...

d (t) + x (t) + y (t) = 180

... ou talvez tratar

d (t)

como se fosse um ângulo e formar alguma equação trigonométrica.

tg [d (t)] = \frac{y (t)}{x (t)}

Todas essas equações podem ser úteis em outros problemas de taxas relacionadas, mas não para esse do Problema 2.

Problema 3

Considere este problema:

Uma escada de $20$ ‍ metros está apoiada contra uma parede. A distância $x (t)$ ‍ entre a base da escada e a parede está aumentando a uma taxa de $3$ ‍ metros por minuto. Em um certo instante $t_{0}$ ‍, o topo da escada está a uma distância $y (t_{0})$ ‍ de $15$ ‍ metros do solo. Qual é a taxa de variação do ângulo $θ (t)$ ‍ entre o solo e a escada nesse instante?

Qual equação pode ser usada para resolver o problema?

Quer praticar mais? Tente este exercício.

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