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Introdução às taxas relacionadas

Qual é a relação entre a taxa de variação do raio de um círculo e a taxa de variação de sua área? Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Vamos supor que você jogue uma pedra no lago e ela crie uma determinada onda que vá aumentando de tamanho. Inicialmente, esse raio vamos supor que tenha três centímetros. Sabendo que a taxa de crescimento do raio seja de um centímetro a cada segundo, a pergunta é: qual a taxa de crescimento da área da circunferência? Aqui nós temos a área da circunferência que está aumentando. Ela aumenta com o raio. Vamos ver qual a relação. Então você tem que a taxa de crescimento do raio é de um centímetro por segundo. Ora, nós temos aqui um tamanho, que é o raio, e temos uma variação, que é o tempo. Portanto estamos falando de dr/dt, ou seja, nossa variação do raio pelo tempo é de um centímetro a cada segundo. O que nós queremos saber é a taxa de variação da área, ou seja, nós queremos saber quanto é a variação da área pelo tempo. Essa é a nossa questão. Como é que nós vamos atacar esse problema? Primeiro temos de saber a relação entre a área e o raio e nós sabemos disso por geometria básica, ou seja, a área de uma circunferência é igual a π vezes r². Então vamos derivar. Parece ser simples, pois basta derivar a área. Só que vamos derivar em relação ao tempo, e não em relação ao raio. Então como é que ficamos? Ficamos com a derivada de πr² pelo tempo. E nós não podemos derivar dessa forma. Nós podemos, então, aplicar a regra da cadeia. Se o raio aumenta com o tempo, nós podemos escrever da seguinte forma: a regra da cadeia nos diz que nós podemos derivar em relação ao raio e multiplicar a derivada do raio em relação ao tempo. Essa é a regra da cadeia. Agora fica fácil, pois nós sabemos que dA/dt vai ficar igual a... Ora, a derivada de πr²/dr é fácil. π é uma constante vezes 2 vezes r. Derivamos. Acabou. A derivada de dr/dt nós sabemos que é um centímetro por segundo, então todos os valores agora são conhecidos. Substituindo os valores... Deixe-me colocar aqui uma cor final, já que nós queremos saber a área. Vamos colocar em vermelho. Nós temos π vezes 2 vezes r (vamos colocar a unidade, que é três centímetros). Vamos colocar três centímetros para ver se a unidade no final bate, vezes a taxa de crescimento do raio, que é dr/dt, ou seja, vezes um centímetro a cada segundo. Assim, quando nós multiplicarmos ficaremos com 2 vezes 3, 6, π é 3, daria 18 aproximadamente... Vamos colocar em função de π. Fica 6 vezes π vezes… Centímetro vezes centímetro dá centímetro ao quadrado, que é a medida de área, e por segundo, que é a medida de tempo. Portanto, nós encontramos a taxa de variação da área da circunferência pelo tempo e terminamos.