If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Análise de problemas de taxas relacionadas: equações (trigonometria)

Como calcular a taxa de variação de um ângulo que uma escada em queda forma com o chão.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga, tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um exemplo sobre taxa de variação relacionada. Este problema diz o seguinte: uma escada de 20 m está encostada na parede. A distância x(t) entre a parte inferior da escada e a parede está aumentando a uma taxa de 3 metros por minuto. Em um certo instante t₀, o topo da escada está a uma distância y(t₀) igual a 15 metros do solo. Qual é a taxa de variação do ângulo θ(t) entre o solo e a escada nesse instante? Inicialmente, vamos fazer um desenho do que está acontecendo. Além disso, nosso primeiro passo é pensar sobre qual equação será útil para resolver este problema. Fazendo isso, podemos ir em frente e realmente resolver o problema. Portanto, nós temos aqui uma escada de 20 m que está encostada em uma parede. Vamos desenhar a parede aqui. Esta é minha parede. Agora, vamos desenhar a nossa escada de 20 m. Então talvez, seja algo assim, e isso é 20 m. A questão falou sobre a distância x(t) entre o pé da escada e a parede. Esta distância bem aqui é x(t). A questão também falou que isto está aumentando a uma taxa de 3 m por minuto, então podemos dizer que x'(t), que é a mesma coisa que dx/dt = 3 m/minuto. Eu poderia colocar essas unidades de forma abreviada, mas eu vou deixar assim. Bem, essa informação a questão nos deu. Sendo assim, temos a taxa de variação de "x" em relação ao tempo. Em um certo instante de tempo t₀, o topo da escada está a uma distância de 15 m. Isso também foi informado. Então, esta distância aqui é y(t). Como vimos, esta distância no instante de tempo t₀ = 15 m. y(t) = 15 m. Vamos escrever aqui também. y(t₀) = 15 m. Vamos supor que estamos desenhando nesse momento t₀, porque eu acho que isso vai ser importante. O problema está querendo saber a taxa variação do ângulo θ entre o chão e a escada, e isto está dizendo que θ vai variar em relação ao tempo. Sendo assim, teremos uma função do tempo entre o solo e escada nesse instante. Então, θ é este ângulo aqui, que também vai ser uma função do tempo. Bem, o que sempre queremos fazer nesses problemas de taxas relacionadas é montar uma equação que relaciona as coisas que procuramos. Para este caso, teremos uma equação algébrica com um pouco de trigonometria envolvida. Aí depois de fazer isso, provavelmente teremos que de derivar em ambos os lados da equação afim de relacionar as taxas de variação. Vamos ver o que vamos fazer aqui. Nós queremos saber a taxa de variação do ângulo entre o chão e a escada no instante de tempo informado. Então, o que precisamos descobrir, o que queremos descobrir, é θ'(t₀). É isso que queremos descobrir. Uma coisa legal é que a questão nos deu algumas informações interessantes. Temos a taxa de variação de "x" em relação ao tempo, e isso é uma constante igual a 3 m/minuto. Também sabemos o valor de "y" no instante de tempo informado. Vamos ver o que precisamos fazer aqui. Precisamos criar um relacionamento, porque foi dado um dx/dt. Por isso, é interessante encontrar um relacionamento entre "x" e θ e aí tirar a derivada de ambos os lados. Ao fazer isso, podemos usar essa informação para descobrir um valor para "x" ou para θ no instante de tempo informado. Então vamos fazer isso. Como podemos relacionar "x" com θ? Bem, usando um pouco de trigonometria aqui. Se você pegar a hipotenusa e multiplicar com o cos(θ), você vai encontrar "x". Vamos escrever isso aqui, x(t) é igual à hipotenusa, que neste caso é 20 m, porque isto é o comprimento da escada, vezes o cos(θ). E apenas para deixar bem claro, eu vou colocar aqui que este é o cos(θ(t)), porque temos aqui uma função do tempo. Bem, isso vem direto da trigonometria básica. Agora, porque eu acho que isso é útil? Vamos pensar sobre o que acontece quando eu tiro a derivada de ambos os lados. Do lado esquerdo, eu vou ter apenas x'(t), e isso vai ser igual à derivada disso tudo aqui do lado direito. Como eu derivo isso? Bem, usando a regra da cadeia. Assim, primeiro eu vou pegar a derivada da função de fora em relação a θ, então, eu vou ter aqui a derivada do cosseno em relação a θ. Isso é igual a quanto? Bem, isso é -sen(θ). Então, eu coloco aqui, -20 vezes o seno(θ(t)). Agora, eu multiplico isto pela derivada em relação ao tempo da função que está dentro, ou seja, a derivada de θ em relação ao tempo, que neste caso é θ'. Agora eu posso dizer o seguinte: olha aqui, em t₀ eu sei o valor de x'(t), eu posso, então, tentar descobrir a derivada de θ(t) que está aqui, e é isso que eu vou fazer. Então, em t = t₀, temos que x'(t) = 3 m/minuto, ou seja, a nossa taxa está em metros por minuto. Quando falamos de distância, estamos falando de metros, mas quando falamos de ângulo, nossa medida vai estar em radianos. Mas enfim, aqui nós vamos ter 3, que é igual a -20, vezes o sen(θ(t)) vezes a derivada de θ em relação ao tempo. Como descobrimos o valor do sen(θ(t))? Bem, vamos apenas usar as outras informações aqui que o problema nos deu. Eu vou fazer isso aqui embaixo. Temos que sen(θ(t₀)) é igual a, bem, o seno é igual ao cateto oposto dividido pela hipotenusa. Então, isto aqui é igual a y(t₀) dividido pela hipotenusa, que é 20. y(t₀) = 15 m, então, temos que isto é igual a 15/20, que simplificando, é igual a 3 dividido por 4, ou 3/4. Então este sen(θ(t)) = 3/4. Multiplicamos isto aqui por 3/4, e isso vezes a taxa de variação de θ em relação a "t". Agora, só temos que resolver para isto e pronto. Quanto que é -20 vezes 3/4? Isto é igual a -15. Então, colocamos aqui -15. Se a gente, agora, dividir ambos os lados por -15, nós temos que θ'(t) vai ser igual a -(3/15). Bem, simplificando isso, a gente vai ter algo igual a -1/5. Ah, aqui a unidade é radianos por minuto, porque nossas taxas são todas por minuto. Vamos escrever isso aqui, radianos/minuto. Enfim, conseguimos descobrir, e isso é interessante, porque a questão informa "y". Usamos essa informação de "y" para descobrir o sen(θ(t)). E aí, com a equação que desenvolvemos utilizamos x(t₀) para encontrar θ'(t). Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui, e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!