Regra de L'Hôpital: exemplo de limite em 0

RKA8JV - Vamos supor que você queira determinar o limite de uma função de ''x" tendendo a zero de 2sen(x) - sen(2x) / x - sen(x). Ora, se você substituir o "x'' por zero, você vai ter sen(0), que é zero, vezes 2 vai dar zero, menos seno de 2 vezes zero é sen(0) que também dá zero. Zero menos sen(0), que é zero, nós vamos ter zero no numerador e vamos ter zero no denominador. Isso fica indefinida como a gente viu em vídeos anteriores. Mas, nós podemos aplicar a regra de L'Hôpital. O que diz a regra de L'Hôpital? Quando você tem aqui zero sobre zero quando "x" tende a zero, nós podemos derivar o numerador e derivar o denominador. Então, o limite desta função é igual ao limite da derivada do numerador sobre a derivada do denominador, portanto, derivando o numerador, vamos ter 2cos(x), utilizando a regra da cadeia, nós vamos ter -2cos(2x), embaixo, derivada de "x" vai ser 1, menos a derivada do seno, que vai ser cos(x). O cos(0) vai ser 1, então, isto aqui fica 2. Vamos cortar isto aqui para 2. E cosseno de 2 vezes zero, é cos(0). O cos(0) também é 1, ou seja, 2 vezes 1, isto aqui também vai ser 2. Embaixo nós temos 1 - cos(0), que é 1, vamos ter zero. 2 - 2 é zero, e 1 - 1 também é zero. E você pode pensar: "espere aí, agora acabou, eu não tenho para onde ir mais". Não, você pode tratar isso como uma nova função. E tratando-a como uma nova função, você pode, de novo, aplicar a regra de L'Hôpital, ou seja, o limite de "x" tendendo a zero da derivada do numerador sobre a derivada do denominador. Derivando o numerador, nós temos -2sen(x). Aplicando a regra da cadeia, nós vamos ter 2 vezes 2, que dá 4, vezes -sen(2x), portanto, vamos ter menos com menos dá mais, mais 4sen(2x). Embaixo, derivando a constante dá zero, menos cos(x), derivando vamos ter sen(x). E vamos obter o quê? Substituindo "x" por zero, nós vamos ter sen(0), que vai dar zero, nós temos seno de 2 vezes zero, que vai ser sen(0), que também dá zero, temos zero sobre zero. Novamente, podemos aplicar a regra de L'Hôspital, ou seja, isso é igual ao limite de "x" tendendo a zero de quê? Da derivada do numerador sobre a derivada do denominador. A derivada do numerador vai ficar -2cos(x), e agora, pela regra da cadeia vamos ter 2 vezes 4, dá 8, 8cos(2x), sobre a derivada do denominador, que é cos(x). Ora, fazendo cos(x) sendo "x" igual a zero, nós temos cos(0) que vai ser 1, então já sabemos que não vai ser indefinida. Muito bem, no numerador, nós temos cos(0) que é 1, então, vamos ficar com -2, e cosseno de 2 vezes zero é cos(0), que também é 1, então vamos ficar com +8. Ou seja, esta derivada vai ficar, -2 + 8, dá 6, sobre 1, dá o próprio 6. Então, nosso limite para "x" tendendo a zero desta função, deu 6, mas é o mesmo limite para esta função, para esta função e para esta, ou seja, o limite desta primeira função que nós queremos achar, o limite quando "x" tende a zero, vai ser 6, desta segunda função também vai ser 6, desta terceira função também vai ser 6, e você tem aí o exemplo de uma aplicação da regra de L'Hôspital em várias etapas até chegarmos em um limite que queremos. Obviamente, no intermediário, temos que ter limites indefinidos "zero sobre zero" quando "x" tende a zero, e aí podemos aplicar a regra. Então, o limite da função de "2sen(x) - sen(2x) / x - sen(x)" vai ser 6, assim como o limite desta segunda função, assim como os limites desta terceira função, e assim como o limite desta quarta função, que foi onde nós determinamos o limite da primeira função que queríamos saber.