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Transcrição de vídeo

O que eu quero examinar neste vídeo é um caso especial da Regra de L'Hopital. E é uma versão mais restrita do caso geral que temos visto. Mas é muito poderosa e muito relevante. E a razão porque nós veremos esse caso especial é porque essa prova é muito simples e dará a você uma intuição da razão porque a regra de L'Hopital funciona. O caso especial da regra de L'Hopital é uma situação onde f de a é igual a zero. f linha de a existe. g de a é igual a zero. g linha de a existe. Se essas restrições existem, então o limite, quando x se aproxima de a de f de x sobre g de x, será igual à f linha de a sobre g linha de a. Isso é muito similar ao caso geral. Mas é um pouco mais restrita. Assumimos que f linha de a existe. Não só calculamos o limite agora. Assumimos que f linha de a e g linha de a realmente existem. Mas note que se substituirmos a nós teremos zero sobre zero. Mas se as derivadas existem nós podemos somente calcular as derivadas em a, e obteremos o limite. Isso é muito próximo ao caso geral da Regra de L'Hopital. Mas provemos isso. E para provar isso, nós começaremos com o lado direito e mostraremos que se usarmos a definição de derivadas, obteremos essa termo no lado esquerdo. Deixe-me fazer isso. Eu farei isso aqui. Quanto é f linha de a dada a definição de derivadas? Bom, podemos ver isso como o limite quando x se aproxima de a de f de x menos f de a sobre x menos a. Isso é literalmente só a inclinação entre dois pontos. Se você tiver sua função de x como essa, esse é o ponto a, f de a aqui. Isso aqui é o ponto x, f de x. Essa expressão aqui é a inclinação entre esses dois pontos. A mudança no nosso valor de y é f de x menos f de a. A mudança no nosso valor de f é x menos a. Logo, essa expressão é somente a inclinação desta linha. E estamos tomando -- deixe-me fazer isso em uma cor diferente -- a linha que conecta esses dois pontos, essa é a inclinação dela. Eu farei isso em branco. A inclinação da linha que conecta esses dois pontos. Estamos tomando o limite quando x se aproxima de a. Isso é só uma outra maneira de escrever a definição de derivada. Isso funciona. Façamos o mesmo para g linha de a. Logo, f linha de a sobre g linha de a, será isso aqui em laranja, f linha de a sobre g linha de a. O que podemos escrever como o limite quando x se aproxima de a de g de x menos g de a sobre x menos a. No numerador tomamos o limite de quando x de aproxima de a, e no denominador o limite de quando x de aproxima de a. Podemos reescrever isso. Isso podemos reescrever como o limite quando x de aproxima de a de tudo isso aqui em laranja. f de x menos f de a, sobre x menos a, sobre tudo isso em verde. g de x menos g de a, tudo isso sobre x menos a Para simplificar isso, podemos multiplicar o numerador e o denominador por x menos a para cancelar essas x menos a's. Façamos isso. Multipliquemos por x menos a sobre x menos a. O numerador, x menos a, e estamos dividindo por x menos a. Eles se cancelam. E esses dois são cancelados. E temos que o que sobrou disso é igual ao limite quando x se aproxima de a, no numerador nós temos f de x menos f de a. E no denominador, nós temos g de x menos g de a. Acho que você percebeu no que isso vai dar. Quanto é f de a? Nós assumimos que f de a é igual a zero. Por isso usamos a Regra de L'Hopital desde o início f de a é igual a zero, g de a é igual a zero. E isso simplifica o limite quando x se aproxima de a de f linha de x, desculpe-me, f de x, --temos que ter cuidado --de f de x sobre g de x. E só mostramos que se f de a é igual a zero, g de a é igual a zero, e essas duas derivadas existem, então as derivadas calculadas em a uma sobre a outra será igual ao limite quando x se aproxima de a de f de x sobre g de x. Ou o limite quando x de aproxima de a de f de x sobre g de x que será igual à f linha de a sobre g linha de a. Logo, uma prova muito simples para o caso especial -- para o caso especial, não o mais geral -- da Regra de L'Hopital. [legendado por: Musa Morena Marcusso Manhães] [revisado por: Rosana Cabral]
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