Introdução aos campos de direções

RKA8JV - Vamos supor que a gente tenha uma equação diferencial dy/dx sendo igual a -x/y. Então, esta aqui é a nossa equação diferencial. Embora a gente não saiba a solução desta equação diferencial, seria interessante a gente ter pelo menos uma ideia de como ela se parece. E a gente consegue fazer isso através do plano cartesiano. Então, se a gente for lá e desenhar o plano cartesiano e substituir vários valores aqui nesta equação diferencial, a gente vai conseguir pelo menos ter uma ideia da inclinação da reta tangente em cada um desses pontos, e através dessa inclinação, a gente consegue ter uma ideia de como a função vai se parecer. Então, a primeira coisa que nós vamos fazer aqui é desenhar o nosso plano cartesiano. Aqui a gente tem o eixo "y" e aqui está o nosso eixo "x". Ficou meio exagerado aqui, mas não tem problema. Aqui é o nosso eixo "x". Como eu disse, vamos colocar alguns pontos aqui para a gente ter uma ideia de como é a inclinação da reta tangente em cada um desses pontos. Então, vamos colocar aqui o 1, 2. Aqui, -1, -2. Aqui também, 1, 2, e aqui, -1, -2. Pelo menos para a gente ter uma ideia de como vai ser a inclinação da reta tangente em cada um desses pontos. Aqui desse lado a gente pode fazer uma tabela relacionando "x" e ''y". Aqui a gente vai ter coordenada a "x", aqui a coordenada "y" e aqui a derivada de "y" em relação a "x". Ou seja, substituindo aqui as coordenadas, a gente vai encontrar uma solução para esta equação diferencial aqui. Então por exemplo, vamos observar o ponto em que a gente tem a coordenada "x" sendo igual a zero e "y" sendo igual a 1. Substituindo aqui, a gente vai ter menos zero sobre 1, que é igual a zero. Então, se a gente observar aqui, no nosso sistema de coordenadas, no nosso plano cartesiano, neste ponto "x = 0", "y = 1", a gente vai ter uma inclinação sendo igual a zero. Uma inclinação sendo igual a zero, é uma reta horizontal, desse jeito aqui. Se a gente, agora, vier aqui e observar o ponto em que tem "x = 1" e "y = 1", qual vai ser a derivada de "y" em relação a "x"? -1/1, que é igual a -1. Então, neste ponto, "x = 1", "y = 1", que é mais ou menos aqui, a gente tem uma inclinação igual a -1, que é desse jeito. Observando, agora, o ponto em que a gente tem "x = 1" e "y = 0", que é este ponto aqui, porque -1 sobre zero é algo indefinido, então, a gente não tem como dizer a reta tangente neste ponto. Na verdade, a gente pode ter inúmeras, infinitas retas tangentes neste ponto. Mas a gente poderia, por exemplo, dizer que aqui tem uma reta tangente vertical desse jeito, poderia, mas não é o que vou fazer agora, ok? Vamos esperar para a gente ver outros pontos e ver qual vai ser o comportamento da função aqui. Então, a gente vai dizer que neste ponto a gente tem algo indefinido, mas que a gente pode ter uma reta vertical. Será que ela é de fato vertical? Vamos colocar aqui um ponto de interrogação por enquanto. O próximo ponto que a gente pode calcular aqui é o ponto em que a gente tem o "x" igual a -1 e o "y" também igual a -1. Menos -1 é positivo, só que a gente vai dividir por -1, então, a gente vai ter uma resposta também sendo igual a -1. Então, a derivada de "y" em relação a "x" quando "x = -1" e "y = -1", vai ser igual a -1. Então, neste ponto "x = -1" e "y = -1" a gente também vai ter uma inclinação da reta tangente desse jeito aqui. Por último, a gente pode calcular o ponto "x = 1" e "y = -1", então, aqui a gente vai ter o ponto "x = 1", "y = -1". Neste caso, a gente vai ter -1 dividido por -1, que é igual a 1. Então, neste ponto "x = 1" e "y = -1", a gente tem uma inclinação da reta tangente desse jeito aqui, sendo positiva. O interessante é que você poderia pegar qualquer um dos pontos e substituir os valores aqui e encontrar a inclinação da reta tangente a esse ponto. Por exemplo, se a gente pegasse o ponto "x= 2" e "y = -2", a gente também teria uma inclinação da reta tangente sendo igual 1, que é desse jeito aqui. O mesmo se aplicaria a esse ponto "x = -1" e "y = 1". A gente teria aqui, menos -1, que é 1, dividido por 1, que também é 1, então, a gente também teria uma inclinação positiva desse jeito. E o mesmo aqui no ponto "x = -2" e "y = 2". Se você vier aqui no ponto "x = 2" e "y = 2", você vai encontrar uma inclinação negativa desse jeito, igual a -1. E se você vier aqui no ponto "x = -2" e "y = -2", você também vai ter uma inclinação desse jeito aqui. Ou seja, se você fizer todas as inclinações das retas tangentes em cada um dos diversos pontos, você vai ter pelo menos uma noção de como a função se parece, e aí você consegue traçar, através dessas retas tangentes, e ter uma noção que ela vai se parecer mais ou menos desse jeito aqui. Então, esta que seria uma noção de como é a função. Se você pegasse em algum outro ponto e fosse substituindo todos os valores, você também teria uma noção de que ela iria se parecer desse jeito aqui. Se traçasse aqui embaixo, você também teria uma noção de que ela tem essa semelhança, ou seja, através das inclinações das retas tangentes em cada um desses pontos, você vai ter uma noção de como que a função se parece. Isso aqui inclusive recebe um nome, é chamado de campo vetorial, ou campo das inclinações das retas tangentes. Ou seja, isso é chamado de campo vetorial. Através desse campo vetorial, que nos mostra a inclinação das retas tangentes em cada um desses pontos, você começa a ter uma noção de como se parece esta equação diferencial, ou seja, o formato das diferentes soluções para esta equação diferencial.