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Equações diferenciais separáveis

Separação de variáveis é um método comum para a solução de equações diferenciais. Aprenda como isso é feito e por que tem esse nome.
Separação de variáveis é um método comum para resolver equações diferenciais. Vamos ver como isso é feito, resolvendo a equação diferencial dydx=2x3y2:
(1)dydx=2x3y2(2)3y2dydx=2xMultiplique por 3y2(3)3y2dy=2xdxMultiplique por dx(4)3y2dy=2xdxCalcule a integral(5)y3=x2+CIntegre(6)y=Ax2+C3Isole y

Vamos revisar essa solução.

Nas linhas (1) a (3) nós manipulamos a equação para que ela ficasse na forma f(y)dy=g(x)dx. Em outras palavras, nós separamos x de y e assim cada variável está no seu próprio lado, incluindo dx e dy, que formaram a expressão derivada dydx. É por isso que esse método é chamado de "separação das variáveis".
Na linha (4) nós calculamos a integral definida de cada lado da equação. O princípio subjacente, como sempre nas equações, é que se f(y)dy é igual a g(x)dx, então suas integrais indefinidas devem ser iguais.
Nas linhas (5) e (6) nós realizamos a integração em relação a y (no lado esquerdo) e em relação a x (no lado direito) e então isolamos y.
Nós adicionamos a constante C apenas do lado direito. Adicionar uma constante dos dois lados é desnecessário, porque sempre podemos mover uma das constantes para o outro lado e assim terminaremos sempre com uma única constante.
Concluindo, a solução geral de dydx=2x3y2 é y=Ax2+C3. Você pode derivar y para confirmar essa solução.
Retornando à solução da equação, note como a separação de variáveis que nós realizamos nas linhas (1) a (3) nos permitiu integrar os dois lados e obter assim uma equação sem derivadas.
Problema 1.A
O conjunto de problemas 1 o guiará pelo processo de resolução desta equação diferencial:
dydx=exy2
Como essa equação fica depois da separação das variáveis?
Escolha 1 resposta:

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