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Equações logísticas (Parte 1)

Como encontrar a solução geral da equação logística geral dN/dt=rN(1-N/K). A solução é meio cabeluda, mas aguente firme porque vale a pena!

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - No vídeo passado, nós estabelecemos uma taxa de variação do crescimento populacional no decorrer do tempo levando em consideração as ideias Malthusianas, ou seja, que a população cresce até atingir um certo número máximo, que nós representamos pela letra "K". Inclusive, nós até fizemos algumas interpretações dessa equação diferencial, que a gente pode até revisar aqui rapidinho. Vamos supor que aqui a gente tenha o nosso eixo "y", que representa o número populacional, e aqui no eixo "x", nós temos o tempo. Inicialmente, nós falamos que se nós temos aqui o número populacional inicial sendo igual a zero, a gente não vai ter nenhum indivíduo para gerar descendentes, ou seja, a gente não vai ter um crescimento populacional. Inclusive, se a gente substituir isto aqui por zero, todo este termo é igual a zero, então, a nossa taxa de crescimento vai ser igual a zero. Se a gente não tem nada e tem uma taxa de crescimento igual a zero, significa que no decorrer do tempo, o nosso número populacional aqui vai continuar sendo igual a zero. Então, independentemente do instante de tempo que nós estamos observando, o nosso número populacional aqui vai continuar sendo igual a zero, então, é uma constante e igual a zero. Um outro caso que nós observamos é que se a gente tem um número populacional igual a "K", ou seja, um número populacional que já atingiu o limite máximo, a gente vai ter aqui, "K" dividido por "K", K/K = 1, "1 - 1 = 0". E rN vezes zero vai ser igual a zero, então, a nossa taxa de crescimento populacional vai ser igual a zero. Se a gente tem uma taxa de crescimento populacional igual a zero, significa que o número populacional não vai se alterar. Então, se o nosso número populacional já está aqui no "K", ele vai continuar no "K" em qualquer instante de tempo, então, nós podemos dizer que "N" em função do tempo vai ser uma constante e igual a "K". Porém, nós vimos um outro caso, a gente viu um caso em que a gente tem um número populacional aqui sendo menor que "K" e maior que zero. Se esse número populacional é um valor que está entre zero e "K", a gente vai ter este comportamento aqui. Aqui tendendo a esta assíntota, que é esse valor máximo "K", então, esta vai ser a forma do crescimento populacional quando este N₀ aqui é menor do que "K" e maior do que zero. O que nós queremos é encontrar uma função que descreva esse crescimento populacional, uma função temporal que descreva isso. Ao resolver esta equação diferencial, nós vamos conseguir encontrar essa função de crescimento populacional, e é isso que nós vamos fazer neste vídeo, resolver esta equação diferencial. E qual seria a maneira de a gente resolver esta equação diferencial? Bem, uma coisa que a gente pode perceber é que aqui a gente tem uma taxa de variação de "N" no decorrer do tempo, certo? O que seria interessante fazer aqui então? Deixar esta constante de proporcionalidade aqui deste lado e trazer todos estes termos aqui para o lado esquerdo, porque se você observar todos estes termos, tem apenas uma dependência de "N", lembrando que "K" é uma constante. Não tem uma dependência temporal aqui, então, vamos levar todos estes termos para o lado esquerdo. E para fazer isso, basta dividir por todo este termo dos dois lados da equação. Assim, a gente vai ter que, deste lado, do lado esquerdo, 1/N(1-N/K), não podemos esquecer do nosso dN/dt aqui, que já estava do lado esquerdo, e isso sendo igual, como a gente vai dividir também por todo este termo aqui deste lado, a gente vai cancelar isto e vai sobrar apenas o "r", que é essa constante de proporcionalidade. Beleza, agora sim já temos algo interessante aqui para observar. Para encontrar este "N" nós precisamos fazer uma integral. Integrando este lado aqui em relação ao "t", a gente vai ter toda essa expressão "dN", e integrando este lado em relação ao "t", a gente vai ter apenas um "t" aqui, então, teremos "rt", e deste lado, tudo isso "dN". E aí, a gente vai precisar integrar isto aqui em relação a este "N", porque a gente tem um "dN" aqui. Para fazer esta integral, a gente tem algo muito complicado deste lado, então, a gente precisa tornar isto aqui algo mais aceitável, algo mais fácil de integrar. E para fazer isso, a gente pode fazer uma expansão de fração. Como que funciona a expansão de fração? A gente já viu isso aqui em algumas aulas da Khan Academy, mas eu vou fazer aqui do lado novamente só como uma revisão. Vamos supor que a gente tenha esta fração aqui e a gente queira transformá-la em duas frações, já que a gente tem este N(1 - N/K). Então, o nosso objetivo aqui vai ser transformar esta fração em "A/N + B/(1 - N/K)". Lembrando que "A" e "B" são os valores que nós teremos que encontrar para poder fazer essa expansão desta fração. Bem, isso daqui vai ter que ser igual, porque, afinal de contas, isso aqui tem que ser igual a este termo, certo? Então isso é igual a 1/N(1 - N/K). Como é que a gente pode trabalhar nisso aqui para encontrar os valores de "A" e "B"? Nós podemos aqui, fazer uma pequena fatoração e colocar tudo isso sobre o mesmo denominador. Para fazer isso, a gente pode multiplicar o "A" por esse que está aqui embaixo e o "B" por este outro aqui, que é o "N". Assim, a gente vai ter A(1 - N/K). "A" vezes 1 é "A", menos A(N/K). Então a gente vai ter A/K vezes "N", mais "BN". Tudo isso aqui dividido por "N" vezes (1 - N/K) E isto é igual a quê? "1 sobre N(1 - N/K)". Beleza, agora a gente pode começar a fazer algumas coisas aqui. Mas para deixar isso aqui um pouco mais visível, porque afinal de contas, aqui a gente tem termos sem "N'' e termos com "N", a gente pode pegar este 1 e somar com zero "N". Não muda a expressão, porque zero vezes "N" é zero. Isto aqui é só para a gente visualizar melhor e ver que este "-A/K + B" tem que ser igual a esse outro termo aqui, que é zero. Um detalhe interessante, antes de fazer qualquer coisa, é observar que os denominadores são iguais, certo? Se os denominadores são iguais, nós podemos trabalhar com estes numeradores e fazendo algumas igualdades. Por exemplo: este "A" aqui está sozinho, ele não está multiplicando nenhum "N", e nós não temos nenhum outro termo sozinho. Sendo assim, este "A" tem que ser igual a este 1, então nós podemos dizer que "A = 1". Por outro lado, aqui nós temos um termo "- A/K" multiplicando "N" e aqui este "B", que também está multiplicando "N". Por outro lado, a gente tem aqui este zero multiplicando "N", então, - A/K + B tem que ser igual a zero. Então, nós temos aqui, -A/K + B = 0. Mas aí você vai me falar: "quem é esse 'A' aqui?" Bem, nós não chegamos à conclusão que "A = 1"? Então, podemos apagar este "A" e colocar 1 aqui, assim, a gente vai ter -1/K + B sendo igual a zero. Ou seja, resolvendo esta expressão, nós chegamos à conclusão que "B = 1/K". Então, nós podemos, agora, colocar desta forma aqui, colocando "A" valendo zero e o "B" sendo "1/K". Vamos fazer isso aqui. Então, nós temos que "1/N(1 - K) = A", só que "A = 1", então, vamos ter "1/N + B", só que "B" é 1/K, então teremos 1/K/(1 - N/K). Isso claro, vezes dN/dt, não podemos esquecer desse dN/dt. "dN/dt = r", ou seja, a nossa constante de proporcionalidade. Ok, agora que já fizemos essa transformação, nós podemos até apagar esta parte aqui, porque a gente não vai precisar mais disso. Claro que você pode até fazer isso aqui de cabeça. Tudo bem, sem problemas, mas eu quis fazer isso aqui desse jeito porque serve até como uma revisão dessa expansão de frações. Continuando, já que nós temos aqui uma soma e nós temos esse dN/dt, nós podemos ter (1/N) dN/dt + (1/K) sobre 1 - (N/K) dN/dt. Isso tudo igual a "r". Nosso objetivo aqui agora é resolver esse lado integrando em relação a dN. E para integrar tudo isso daqui em relação a dN, a gente precisa encontrar a antiderivada de 1/N e a antiderivada de 1/K sobre 1 - N/K. Como nós podemos fazer isso? Nós sabemos que a derivada em relação a "N" do logaritmo natural do módulo de "N" é igual a 1/N, certo? E a derivada em relação a "t" do logaritmo natural do módulo d e "N" é igual à derivada da função de fora em relação a "N", ou seja, a derivada do logaritmo natural do módulo de "N" em relação a "N", que a gente acabou de ver aqui que é 1/N vezes a derivada da função de dentro, que é de dN/dt. Então nós vamos ter 1/N vezes dN/dt. Não é o que nós vimos aqui? Aqui gente não tem 1/N dN/dt? Então, nós podemos dizer que 1/N dN/dt é igual à derivada em relação ao tempo do ln(N). Então, nós podemos fazer essa substituição aqui. Então, podemos dizer que 1/N dN/dt, que é isto aqui, é igual a "d/dt ln(N)". Então podemos dizer que isso aqui é d/dt, a derivada em relação ao tempo de ln|N|. Isso mais todo esse termo aqui. Como é que nós podemos trabalhar nesse termo? Podemos fazer a mesma ideia aqui. A gente vai dizer que a derivada em relação a "N" do "ln" do módulo de |1 - N/K| é igual à derivada da função de dentro em relação a "N", que neste caso vai ser -1/K, vezes a derivada da função de fora em relação a "1 - N/K". A derivada do ln é 1 sobre o que está ali dentro, 1 sobre 1 - (N/K). Se eu derivar, agora, em relação ao tempo, ou seja, derivar o ln|1 - N/K| em relação ao tempo, nós novamente vamos fazer isso aqui. Nós derivamos isso aqui em relação a "N" e a derivada disso em relação a "N" nós já fizemos aqui em cima, então, vai ser -1/K vezes 1 sobre 1 - (N/K) vezes dN/dt, conforme fizemos aqui antes, certo? Beleza, então nós já sabemos que -1/K vezes 1 sobre 1 - (N/K) dN/dt que é quase este termo, quase, porque a gente tem um sinal de menos aqui, vai ser igual a d/dt ln|1 - N/K|. Bem, como nós temos um sinal de menos aqui, nós precisamos transformar isso com sinal de menos de alguma forma. A gente poderia fazer o seguinte: colocar um sinal de menos duplo, apagando esse sinal de mais aqui esta soma, e colocando menos aqui e menos aqui, porque menos vezes menos vai ser um número positivo. Então, nós já temos um termo aqui, que é igual a este, então, nós podemos fazer essa substituição. Vamos ter d/dt ln|N| menos d/dt do ln|1 - N/K|, e isso tudo igual a "r". Agora sim podemos integrar dos dois lados aqui em relação a "t". Integrando dos dois lados em relação ao "t", aqui do lado esquerdo, nós vamos ter apenas o ln|N| menos ln|1 - N/K|. Como é uma integral indefinida, a gente precisa de uma constante, que a gente vai chamar de c₁, então, uma constante 1. Isso igual a "r", como nós vamos integrar desse lado aqui também, vezes "t", então "rt", mais uma outra constante, uma constante c₂. Ok, chegamos a esta expressão aqui. Porém, aqui nós temos esses módulos, e a gente precisa tirar esses módulos de alguma forma. Uma forma de tirar esses módulos é falando o seguinte: olhe, veja bem, se o nosso número populacional vai ser sempre positivo, nós podemos assumir, então, assumindo que N(t), que é o nosso número populacional, vai ser menor que "K" e maior que zero. Se ele é maior que zero, o nosso "N" sempre vai ser um número positivo, então por esse motivo nós podemos tirá-lo aqui do módulo. Assim nós teremos isso aqui sendo igual ao "ln N", inclusive a gente pode colocar até um parênteses aqui para deixar isso aqui mais destacado, menos o "ln" do quê? Bem, se "N" é positivo e menor que "K", a gente sempre vai ter um número menor que 1. Esse número sendo menor que 1, a gente vai ter 1 menos um número menor que 1, então isso sempre vai ser positivo. Então também podemos tirar isso aqui do módulo, assim a gente vai ter 1 - N/K. Vou colocar isso aqui também entre parênteses. E aqui desse lado, a gente não tem aqui c₁ e c₂? A gente pode subtrair por c₁ dos dois lados, assim, a gente vai ter c₂ - c₁, e como c₁ é uma constante e c₂ é uma constante, uma constante menos uma outra constante é igual a uma constante. Então aí, a gente vai ter apenas "rt" mais uma constante. Vamos colocar aqui, isso aqui igual a "rt", vamos colocar este "t" aqui em branco só para destacar bem, então, a gente coloca aqui também em branco e aqui em branco. Então "rt" mais uma constante arbitrária "c". Beleza, então, chegamos a este termo aqui. Eu sei que falta muito pouco aqui para resolver isso, mas, como este vídeo já está muito grande e eu não gosto de estender muito os vídeos, eu vou deixar para resolver esta expressão no próximo vídeo, ok?