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Transcrição de vídeo

no vídeo passado nós estabelecemos aqui uma taxa de variação do crescimento populacional no decorrer do tempo levando em consideração as idéias malthusianos ou seja que a população cresce até atingir um certo número máximo que nós representamos pela letra k inclusive nós até fizemos algumas interpretações dessa equação diferencial que a gente pode até revisar que rapidinho vamos supor que a gente tem o nosso eixo y que representa o número populacional e aqui no eixo x nós temos o tempo inicialmente nós falamos que se nós temos aqui o número populacional inicial sendo igual a zero a gente não vai ter nenhum indivíduo para gerar descendentes ou seja a gente não vai ter um crescimento populacional inclusive a gente substituir isso aqui por 0 todo esse termo é igual a zero então a nossa taxa de crescimento vai ser igual a zero se a gente não tem nada e tem uma taxa de crescimento igual a zero significa que no decorrer do tempo o nosso número populacional aqui vai continuar sendo igual a zero então independente do instante de tempo que nós estamos observando o nosso número populacional aqui vai continuar sendo igual a zero uma constante e é igual a zero um outro caso que nós observamos é que se a gente tem um número populacional igual a kaká ou seja o número populacional que já atingiu o limite máximo a gente vai ter aqui cade dividindo por kaká / cá igual a 1 - 1 é igual a zero e rn 2010 vai ser igual a zero então a nossa taxa de crescimento populacional vai ser igual a zero se a gente tem uma taxa de crescimento populacional igual a zero significa que o número populacional não vai se alterar então se o nosso número populacional já está aqui no km vai continuar no caep em qualquer instante de tempo então nós podemos dizer que m em função do tempo vai ser uma constante é igual há cá porém nós vimos o outro caso a gente viu um caso em que a gente tem um número populacional aqui sendo menor que cá e maior quiser se esse número populacional é um valor que está entre zero e cá a gente vai ter esse comportamento é que aqui tendendo a essa sinto tanque é esse valor máximo cá então essa vai ser a forma do crescimento populacional quando esse n0 aqui é menor do que cá e maior do que zero eo que nós queremos encontrar uma função que descreva esse crescimento populacional uma função temporal que descreva isso e ao resolver essa equação diferencial nós vamos conseguir encontrar essa função de crescimento populacional e é isso que nós vamos fazer nesse vídeo resolver essa equação diferencial e qual seria a maneira que a gente resolver essa equação diferencial tem uma coisa que a gente pode perceber que aqui a gente tem uma taxa de variação de e no decorrer do tempo certo o que seria interessante fazer aqui então deixar essa constante de proporcionalidade aqui desse lado e trazer todos esses termos aqui para o lado esquerdo porque se você observar todos esses termos tem apenas uma dependência de m lembrando que caiu uma constante não tem uma dependência temporal aqui então vamos levar todos esses temas para o lado esquerdo para fazer isso basta dividir por todo esse termo dos dois lados da equação assim a gente vai ter que descer lado do lado esquerdo um sobre n vezes um melos n sobre kaká não podemos esquecer do nosso dna de ter aqui que já estava do lado esquerdo de ndt e isso sendo igual como a gente vai dividir também por todo esse tema aqui desse lado a gente vai cancelar isso vai sobrar apenas o rq essa constante de proporcionalidade beleza agora sim já temos algo interessante é que para observar pra encontrar esse e nós precisamos fazer uma integral integrando esse lado aqui em relação ao ter agentes vai ter toda essa expressão dn e integrando esse lado em relação ao ter a gente vai ter apenas um take então teremos rt e desse lado tudo isso dn ea gente vai precisar integrar isso aqui em relação a esse n o que a gente tem um dna kiyé pra fazer essa integral a gente tem algo muito complicado aqui desse lado então a gente precisa tornar isso aqui algo mais aceitável algo mais fácil de integrar e provas isso a gente pode fazer uma expansão de infração como que funciona a expansão de infração a gente já viu isso aqui em algumas aulas daquela academia mas eu vou fazer aqui do lado novamente só como uma revisão vamos supor que a gente tenha essa fração aqui ea gente queira transformar em duas frações já que a gente tem esse n vezes 1 - ele sobre kaká então o nosso objetivo aqui vai ser transformar essa fração em a sobre n mais b sobre o - ele sobre kaká lembrando que a e b são os valores que nós teremos que encontrar aqui pra poder fazer essa expansão dessa fração bem isso daqui vai ter que ser igual porque afinal de contas isso daqui tem que ser igual a esse termo certo então isso é igual a 1 sobre o enem vezes 1 - n sobre kaká como é que a gente pode trabalhar nisso é que pra encontrar os valores de a e b nós podemos aqui fazer uma pequena faturação e colocar tudo isso sobre o mesmo denominador pra fazer isso a gente pode multiplicar o ar por isso que está aqui embaixo e o bê por esse outro aqui que é o n assim a gente vai ter avise sun - ele sobre caa vezes um é a menos avisem sobre kaká então a gente vai ter a sobre cá zeni mais be cmb 0 tudo isso daqui dividido o n vezes com menos anos sobre k n vezes o menos n sobre kaká e isso é igual ao que a 1 sobre n vezes o menos n sobre kaká beleza agora a gente pode começar a fazer algumas coisas aqui mas pra deixar isso daqui um pouco mais visível porque afinal de contas aqui a gente tem termos 100m e termos com n a gente pode pegar esse 1 e somar com 10 n não muda a expressão porque 0 vezes anne zero isto é que as obras de visualizar melhor e ver que esse - a sobre kaká mais b tem que ser igual a esse outro termo aqui que é zero um detalhe interessante antes de fazer qualquer coisa o observar que os denominadores são iguais certo se os denominadores são iguais nós podemos trabalhar com esses números a dores e fazendo algumas igualdades por exemplo esse aqui está sozinho ele não está multiplicando nenhum n e nós não temos nenhum outro termo sozinho sendo assim esse a tem que ser igual a esse 1 então nós podemos dizer que há é igual a um por outro lado aqui nós temos um termo - a sobre kaká multiplicando n e aqui sbq também está multiplicando n por outro lado a gente tem aqui esse zero multiplicando n então - já sobre kaká mais b tem que ser igual a zero então nós temos aqui - aço brincar mais b igual a zero mas aí você vai me falar quem é esse aqui bem nós não chegamos à conclusão que o aek gual a 1 então podemos apagar esse a e colocar um aqui assim a gente vai ter menos 1 sobre camarões b sendo igual a zero ou se já resolvendo essa expressão nós chegamos à conclusão que b é igual a 1 sobre kaká então nós podemos agora colocar dessa forma que colocando a valendo zero e obedecendo um sobre cá vamos fazer isso aqui então então nós temos que um sobre n vezes 1 - cá é igual a só que a igual a 1 então vamos ter um sobre o iene mais b só que b1 sobre cá então teremos aqui um sobre kaká sobre o - n sobre kaká isso claro vezes de ndt não podemos esquecer desse de ndt dn.pt igual a r ou seja nossa constante de proporcionalidade ok agora que já fizemos essa transformação nós podemos até apagar essa parte aqui porque a gente não vai precisar mais disso claro que você pode até fazer isso aqui de cabeça tudo bem sem problemas mas eu quis fazer isso aqui desse jeito que serve até como uma revisão dessa expansão de infrações continuando já que nós temos aqui uma soma e nós temos esse de ndt nós podemos ter um sobre ele de ndt mais um sobre kaká sobre o menu ceni sobre cada ldt isso tudo igual a r nosso objetivo aqui agora é resolver selado integrando em relação à dengue e para integrar tudo isso daqui em relação à dengue a gente precisa encontrar ante derivado de um sobre n e anti derivada de um sobre kaká sobre o menu ceni sobre kaká como que nós podemos fazer isso nós sabemos que a derivada em relação à eni logaritmo natural do módulo dn é igual a 1 sobre n certo ea derivada em relação à t do logaritmo natural do módulo dn é igual a derivada da função de fora em relação à eni ou seja derivada do logan ritmo natural do módulo dn em relação à m que a gente acabou de ver aqui que é um sobre n vezes a derivada da função de dentro que é de ndt então nós vamos ter aqui um sobre n vezes de ndt não é o que nós vimos aqui a gente não tem um sobrenome de ndt então nós podemos dizer que um sobre ele de ndt é igual a derivada em relação ao tempo do logaritmo natural gn então nós podemos fazer essa substituição aqui então podemos dizer que um sobre ndm de t que é isso aqui é igual à de dt lnd n então podemos dizer que isso aqui é de ddt a derivado em relação ao tempo de ln do módulo dn isso mas todo esse termo aqui como é que nós podemos trabalhar nesse termo podemos fazer a mesma idéia aqui a gente vai dizer que é derivado em relação à eni do rn do módulo de 1 - m subica é igual a derivada da função de dentro em relação à eni que nesse caso vai ser - um sobre kaká vezes a derivada da função de fora em relação a um - ele sobre cá e é derivada do ln é um sobre o que está ali dentro 1 sobre o - m sobre kaká se eu levar agora em relação ao tempo ou seja deriva' o ln do módulo de 1 - n sobre cá em relação ao tempo nós novamente vamos fazer isso aqui nós derivamos isso daqui em relação à eni ea derivada disso em relação a ele nós já fizemos aqui em cima então vai ser um a menos 1 sobre kaká vezes um sobre um - ele sobre cá vezes de ndt conforme fizemos aqui antes certo beleza então nós já sabemos que - um sobre cá vezes 1 sobre o - anos sobre cadê ndt que é quase esse tema que quase o que a gente tem um sinal de menos aqui vai ser igual à de de tl do módulo de 1 - ele sobre ficar bem como nós temos um sinal de menos é que nós precisamos transformar isso aqui com sinal de menos de alguma forma a gente poderia fazer o seguinte colocar um sinal de menos duplo apagando esse sinal de mais aqui essa soma e colocando menos aqui e menos aqui por que menos vezes - vai ser um número positivo então nós já temos um termo aqui que é igual a esse então nós podemos fazer essa substituição então vamos ter de de tl do módulo dn - ddt do lm do módulo de 1 - n sobre kaká isso tudo igual a r agora sim podemos integrar os dois lados aqui em relação ao ter integrado dos dois lados em relação ao te aqui do lado esquerdo nós vamos ter apenas o ln do módulo dn - o ln do módulo de 1 - n sobre kaká como é uma integral indefinida a gente precisa de uma constante que a gente vai chamar de seu então uma constante 1 e sua igual a r como nós vamos integrar esse lado que também existe tão rt mais uma outra constante uma constante c2 só que chegamos a essa expressão aqui porém é que nós temos esses módulos ea gente precisa tirar esses módulos de alguma forma e uma forma de tirar esses módulos é falando-se a gente olha veja bem se o nosso número populacional vai ser sempre positivo nós podemos assumir então assumindo que o indt é o nosso número populacional vai ser menor que cá e maior que zero se ele é maior que zero o nosso n sempre vai ser um número positivo então por esse motivo nós podemos tirar ele aqui do módulo assim nós teremos isso aqui sendo igual ào lm dn inclusive a gente pode colocar tão parentes aqui para deixar isso aqui mais destacado nello's o ln do que 10 iene é positivo menor que cá a gente sempre vai ter um número menor que 1 esse número sendo menor que um agente vai ter um - um número menor que o então isso sempre vai ser positivo então também podemos tirar isso daqui do módulo se a gente vai ter um menu ceni sobre o ca colocar isso aqui também entre parênteses e aqui desse lado a gente não tenha que seu esse dois a gente pode subtrair por ser um dos dois lados assim a gente vai ter c 2 - c1 e como ser uma constante c2 é uma constante uma constante - uma outra constante é igual a uma constante então aí a gente vai ter apenas rt mais uma constante então vamos colocar aqui isso aqui igual a r existê vamos colocar esse tema aqui em branco só para destacar bem então a gente coloca que também branco e aqui em branco então r vezes te mais uma constante arbitrárias e beleza então chegamos a esse tema aqui eu sei que falta muito pouco aqui para resolver agora isso mas como esse vídeo já está muito grande eu não gosto de estender muitos vídeos eu vou deixar para resolver essa expressão no próximo vídeo aqui
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