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Equações logísticas (Parte 2)

Como encontrar a solução geral da equação logística geral dN/dt=rN(1-N/K). A solução é meio cabeluda, mas aguente firme porque vale a pena!

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Olá, tudo bem? No vídeo passado nós partimos desta equação diferencial, realizamos todo um processo para resolvê-la e chegamos nesta parte, ln (N) menos ln (1 menos N/k) igual a r vezes t mais c, onde c é uma constante arbitrária qualquer. Neste vídeo vou continuar resolvendo a partir desse ponto. Nós sabemos que quando temos o ln de uma coisa menos o ln de outra coisa isso vai ser igual ao ln dessa primeira coisa sobre a segunda coisa. Então podemos colocar que isso tudo é igual a ln de (N sobre (1 menos N/k)) e isso é igual ao r vezes t mais c, essa constante arbitrária. Agora que nós temos esse ln de (N sobre (1 menos N/k)) e que isso é igual a r vezes t mais c, e ainda lembrando que queremos encontrar N, nós podemos aplicar a função exponencial em ambos os lados dessa igualdade, porque se isso é igual a isso, a exponencial do ln disso aqui vai ser igual à exponencial de todo esse termo. É interessante fazer isso porque quando nós aplicamos a exponencial dos dois lados, por exemplo "e" elevado a isso tudo e "e" elevado a tudo isso, o "e" elevado ao logaritmo natural de alguma coisa vai ser igual a essa coisa. Então isso tudo aqui vai acabar se resumindo apenas a essa expressão N sobre (1 menos N/k) e isso vai ser igual a "e" elevado a (r vezes t mais c). Só que quando temos uma soma no expoente, nós podemos dividir essa exponenciação e assim podemos colocar que "e" elevado a (r vezes t mais c) é igual a "e" elevado a (rt) vezes "e" elevado a (c). Então nós podemos dizer que isso aqui vai ser vezes "e" elevado a c. Porém, como c é uma constante e "e" também é uma constante, "e" elevado a (c) vai ser uma outra constante. Então nós podemos colocar isso aqui vezes c. Só para deixar claro que isso aqui são constantes diferentes, eu vou chamar isso de c₁ e isso de c₂. Apesar de serem constantes, são números diferentes, OK? Agora nós precisamos resolver essa expressão. De que forma que nós podemos resolver essa expressão? Uma maneira de fazer isso seria pegar os inversos dos dois lados, porque a gente vai ter (1 menos N/k) sobre N, que é mais fácil de resolver. Então vamos colocar isso aqui do lado. Nós vamos ter o inverso disso aqui sendo (1 menos N/k) sobre N e isso vai ser igual ao inverso de tudo isso daqui. A gente vai ter, por exemplo, o inverso de c₂, mas como c₂ é constante, o inverso de c₂ também vai ser uma constante. Então podemos colocar logo aqui c₃, uma outra constante arbitrária, vezes o inverso de "e" elevado a (r vezes t), e o inverso de "e" elevado a (r vezes t) é igual a "e" elevado a (-r vezes t). Por que fica mais fácil fazer isso? Porque agora nós podemos separar esse termo aqui. Assim a gente vai ter 1/N menos (N/k sobre N). Mas N dividido por N é igual a 1, então vamos ter apenas 1/k. Então vamos ter aqui -1/k, e isso aqui, claro, sendo igual a c₃ vezes “e” elevado a (-r vezes t). Porém como nós temos esse -1/k, podemos somar por 1/k dos dois lados da igualdade. Assim, aqui do lado esquerdo, a gente fica apenas com 1/N e do lado direito a gente vai ter esse 1/k. Agora sim nós temos N isolado aqui do lado esquerdo e aqui nós não temos nenhum N. Como nós queremos saber o valor do N, novamente nós podemos pegar os inversos dos dois lados. Assim nós vamos ter N (já vamos colocar logo esse N em função do tempo, porque afinal de contas se trata de uma função temporal) em que isso é igual a 1 sobre tudo isso aqui. Nós até podemos copiar logo isso do jeito que está. Vou colocar aqui embaixo no denominador. Chegamos à nossa função que indica o número populacional, o número de indivíduos em uma população à medida que o tempo passa. Lembrando que k é o número máximo que pode ter nessa população, r é a nossa constante de proporcionalidade e tudo isso daqui é chamado de função logística. O nosso objetivo, agora, é encontrar esse c₃, que é a nossa constante que a gente vai substituir por algo que a gente conheça. Uma forma de fazer isso é dizendo o seguinte: eu sei que o número de população, o número populacional em um tempo t igual a zero vai ser igual... (deixe-me colocar isso em branco porque o nosso tempo é branco) isso vai ser igual a N₀. (N zero) Resolvendo esta função para o tempo igual a zero, nós vamos ter que (deixe-me subir um pouco) N no tempo igual a zero é igual a quanto? Vai ser igual a 1 sobre (c₃ vezes "e" elevado a (-r vezes zero)). (-r vezes zero) é igual a zero e todo o número elevado a zero é igual a 1, então vai ter apenas o c₃ aqui. c₃ mais 1/k, que é esse termo aqui. Se N no tempo zero é igual a N₀ e N tempo igual a zero é 1 sobre (c₃ mais 1/k), nós podemos igualar N₀ com esse termo aqui, certo? Então podemos dizer que todo esse termo aqui é igual a N₀. Mas novamente nós podemos pegar aqui os inversos dos dois lados para ficar mais fácil de resolver esse c₃ mais 1/k. É isso que nós vamos fazer aqui. Deixe-me apagar tudo isso para a gente trabalhar com os inversos. O inverso de 1 sobre (c₃ mais 1/k) é igual a c₃ mais 1/k, então vamos colocar aqui e isso vai ser igual ao inverso de N₀. Então vamos ter aqui o inverso de N₀. Como o nosso objetivo é encontrar c₃, que é a nossa constante, ele vai ser igual a 1/N₀ menos 1/k. Agora, sim, podemos pegar esse c₃ e substituir nessa expressão aqui. Assim nós teremos que N(t) é igual a 1 sobre c₃, em que c₃ é 1/N₀ menos 1/k, vezes "e" (vamos colocar esse “e” em amarelo só para ficar melhor) "e" elevado a (-r vezes t) mais 1/k. Chegamos a essa expressão. Isso aqui, agora, é a nossa função logística para esse crescimento populacional. O que nos resta é apenas melhorar essa expressão para a gente não ter tantos valores aqui, tantas frações desse jeito. Para isso, uma forma é multiplicar e dividir por N₀ vezes k. Então a gente vai multiplicar e dividir por (N₀ vezes k). Assim nós temos que N(t) é igual... Se eu estou multiplicando 1 por (N₀ vezes k), aqui no numerador a gente vai ter (N₀ vezes k) e (N₀ vezes k) vai ser dividido pelo quê? Se multiplico 1/N₀ por (N₀ vezes k) eu elimino N₀ e sobra apenas k no numerador. Então nós vamos ter aqui k menos a mesma coisa aqui: se multiplico -1/k por (N₀ vezes k), eu elimino k e fico apenas com N₀. Então teremos aqui (k menos N₀) vezes "e" elevado a (-r vezes t), aqui também 1/k vezes (N₀ vezes k) elimina o k e sobra apenas N₀. E isso aqui mais N₀. Esta é a nossa função logística para o crescimento populacional, em que N₀ corresponde ao número inicial de indivíduos na população, k representa o número máximo que pode ter nessa população, r é a nossa constante de proporcionalidade e t é um instante de tempo a partir do momento inicial. Então eu espero que essa demonstração tenha sido bem satisfatória e que você consiga entender de onde nós saímos para chegar a esse resultado. E, de fato, se você pegar essa função aqui e colocar em algum aplicativo que plote um gráfico, provavelmente você vai ter um gráfico mais ou menos dessa forma, um gráfico com essa forma de "s". Eu espero que esse vídeo tenha lhe ajudado e no próximo vídeo nós vamos ver um exemplo de aplicação dessa equação logística. Então, vejo você lá!