Derivada como um conceito

RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos falar de um conceito muito importante na matemática, que é o conceito de derivada. Você provavelmente já deve estar familiarizado com a ideia de inclinação de uma reta. Se você não lembra desse conceito, eu sugiro que você dê uma revisada nos vídeos da Khan Academy. Mas basicamente, uma inclinação, ela está descrevendo a taxa de variação de uma variável vertical em relação a uma variável horizontal. Então, por exemplo: eu tenho aqui o plano cartesiano. Se eu quisesse descobrir a taxa de variação da reta, ou seja, a inclinação da reta, eu pegaria dois pontos sobre ela. Note que a variação em "x" é esta aqui e que nós podemos chamar de delta "x" (Δx). Este Δ (delta) é uma letra grega que representa variação. Portanto, é uma variação em "x". E também podemos colocar a variação em "y". Observe que nós estávamos aqui e fomos parar aqui. Então, a variação em "y" vai ser esta aqui, que eu vou chamar de Δy. Portanto, a inclinação da reta vai ser igual à variação em "y", que nós chamamos de Δy, dividido pela variação de "x", que nós chamamos de Δx. E claro, às vezes nós escrevemos aqui "variação", ou representamos por um "a", por um "m"... Enfim, tem várias maneiras de representar essa inclinação. Observe que nós temos uma taxa de variação constante aqui, o que significa que, se você escolher quaisquer dois pontos sobre esta reta, quando você ligá-los e fizer esta conta, você vai ter a mesma inclinação. E é isso que torna este gráfico uma reta. Mas o que é legal no cálculo é que nós conseguimos construir ferramentas para calcular variações instantâneas em uma curva. Ou seja, uma taxa que está mudando constantemente, e não constante, como é na reta. Aqui, nós temos uma curva onde a variação de "y" em relação à variação de "x" não é constante. Por exemplo, se nós tentarmos utilizar esta ferramenta aqui, nós vamos ter que escolher dois pontos na curva para calcular a inclinação. Mas, se escolhermos outros dois pontos, por exemplo, este ponto e este ponto, a inclinação da reta vai ser um pouco mais alta. Ou seja, estas duas inclinações são diferentes. A inclinação está mudando. Mas, e se eu te fizer uma pergunta: qual é a taxa de variação instantânea em um ponto? por exemplo, o quão rápido "y" está mudando em relação a "x" neste ponto? Ou seja, exatamente neste ponto, quando "x" é igual a este valor aqui, que eu posso chamar de x₁? Uma maneira de pensar nisso é colocar uma reta tangente a este ponto. Com isso, vamos conseguir calcular a inclinação dela. Essa vai ser a taxa instantânea de mudança neste ponto. Se eu colocar esta reta tangente a este ponto, vai ser algo mais ou menos assim. Então, se descobrirmos a inclinação desta reta, nós vamos descobrir a taxa de variação instantânea neste ponto. E por que "taxa de variação instantânea"? Por exemplo, pense no Usain Bolt. Se descobrirmos a velocidade dele em um determinado momento, isso talvez ajude a descrever a sua posição em relação ao tempo. Ou seja, o "y" é a posição e o "x" é o tempo. Então, taxa de variação instantânea neste ponto é a ideia central do cálculo diferencial. E essa taxa de variação instantânea é conhecida como "derivada". E claro, eu coloquei uma exclamação aqui porque o conceito de derivada é muito importante no cálculo. Entendido o que é uma derivada, como podemos representá-la? Uma notação bastante conhecida é a de Leibniz. Ele é um dos pais do cálculo, juntamente com Newton. A notação de Leibniz para esta taxa de variação aqui, para esta inclinação, é igual a dy/dx. Ou seja, a diferenciação em "y" dividido pela diferenciação em "x". É por isso que eu gosto desta notação, porque ela realmente te dá a ideia de mudança em "y" em relação a "x". Você vai ver nos próximos vídeos que uma maneira de pensar nessa inclinação é calcular a inclinação das retas secantes. Digamos que eu passe uma secante por este ponto e por este ponto. Eu posso fazer isso cada vez mais próximo do ponto que quero. Por exemplo, calcular a variação da secante entre este ponto e x₁, ou um ponto mais próximo e o x₁, e chegar cada vez mais próximo e ver o que acontece com a variação quando "x" se aproxima de zero. É por isso que o Leibniz utilizou esta notação. Ela representa pequenas variações do "y" em relação a pequenas variações no "x", principalmente quando o "x" se aproxima de zero. É assim que vamos calcular a derivada. Mas existem outras notações. Se esta curva for descrita como y = f(x), a inclinação da reta neste ponto pode ser descrita como f'(x₁). Mas, claro, esta notação a gente leva um pouquinho de tempo para se acostumar. É o que chamamos de notação de Lagrange. f' representa a derivada. Ela está nos dizendo a taxa de variação instantânea para um determinado ponto. Portanto, se você estiver colocando um "x" dentro desta função, você vai obter um "y" correspondente. E, se você colocar um "x" dentro desta derivada, você vai obter a inclinação da reta tangente nesse ponto. Tem uma outra notação, que você vê menos nos cursos de matemática. Geralmente, você vê nos cursos de física, que é você escrever o "y" com uma bolinha em cima. Você também pode ver o "y" com um traço aqui. Isso é mais comum em cursos de matemática. E, conforme vamos avançando nas aulas, nós vamos descobrir mais ferramentas para calcular essas variações. E claro, os limites vão nos ajudar bastante. Eu espero que você esteja familiarizado com eles, isso porque nós vamos calcular bastante o limite dessa variação e também o limite quando este "x" se aproxima de zero. Nas próximas aulas, nós vamos aprender a calcular derivadas não somente para um ponto, mas também vamos utilizar equações para determinar a derivada em um ponto qualquer. Eu espero que esta aula tenha te ajudado e até a próxima, pessoal!