Derivadas de tg(x) e cotg(x)

RKA3JV - Neste vídeo, vamos através do conhecimento da derivada de duas funções, tipo derivada do sen(x)/dx conhecemos que é cos(x) por vídeos anteriores. E a derivada do cos(x)/dx é igual a -sen(x). O que significa isso? A função cos(x) vai nos dar a inclinação da função sen(x) para quaisquer valores de "x". E a função -sen(x) vai nos dar a inclinação da função cos(x) para quaisquer valores de "x". Vamos supor que queremos saber a derivada da tg(x)/dx. E queremos saber, também, a derivada da função cotg(x)/dx. Vamos usar a regra do quociente. Aqui, nós sabemos que a derivada da tg(x) é a derivada de sen(x) sobre cos(x)/dx. O que é que nos diz a regra do quociente? Nós derivamos a primeira, ou seja, o que está no numerador. A derivada de sen(x) é cos(x), vezes o denominador cos(x), menos o primeiro, que é sen(x), vezes a derivada do dominador, que é cos(x). A derivada vai ser -sen(x). Isto tudo sobre o denominador ao quadrado, cos²(x). Ficamos então com cos²(x) menos com menos dá mais, mais sen²(x) sobre cos²(x) sen²(x) + cos²(x) = 1. Então, ficamos com 1 / cos²(x). Isso vai nos dar a sec²(x). Então, descobrimos qual é a derivada da tangente de "x". Chegamos na sec²(x), através da regra do quociente. Vamos aplicar a mesma para descobrir a derivada da cotg(x). A derivada da cotg(x) é a derivada do cos(x) / sen(x)/dx. E vamos aplicar a mesma regra. Então, é a derivada do primeiro -sen(x), vezes o segundo sen(x), menos o primeiro cos(x), vezes a derivada do segundo que é cos(x), isso tudo sobre o denominador ao quadrado, sen²(x). Colocando este menos em evidência, nós vamos ter -sen²(x) + cos²(x) sobre sen²(x). sen²(x) + cos²(x) = 1. Portanto, no numerador vamos ficar com -1 e, no denominador, sen²(x). 1 / sen(x), é cossecante de "x". Portanto, 1 / sen²(x) é a cossecante ao quadrado de "x". Portanto, ficamos com -cossec²(x). Então, desta forma, nós descobrimos qual é a derivada da cotangente de "x" pela regra do quociente e chegamos à sua derivada, que é -cossec²(x).