Regras básicas de derivação: tabela

RKA3JV - Temos aqui algumas informações interessantes sobre as funções "f", "g" e "h". Nesta tabela, temos para alguns dados valores de "x", quais são os respectivos valores de f(x) e de f'(x) que é a sua derivada. Temos aqui definida g(x), com uma expressão modular. E temos aqui definida h(x), que está escrita em termos de f(x) e g(x). O que nós estamos curiosos para saber neste vídeo, é qual é a derivada em relação a "x" de h(x), para x = 9. Eu sugiro, agora, que você pause o vídeo e tente obter isto sozinho, para depois trabalharmos juntos. Vamos então trabalhar um pouco com isto aqui. E a primeira coisa é uma outra notação para a derivada em relação a "x" do h(x) em x = 9. Essa escrita é equivalente a escrever h', esta linha significa que nós estamos tomando a derivada de h. h', portanto, de 9. Porque queremos o h'(x) quando x = 9. E já posso trocar o "x" pelo 9. Isto resume tudo que tínhamos acima. Vamos pensar um pouco sobre o que é isto. Vamos tomar a derivada dos dois lados desta igualdade para poder saber o que é a derivada de h(x) em relação a "x". Então, a derivada com relação a "x" do h(x) vai ser igual à derivada de toda essa expressão que está do lado direito da igualdade. 3f(x) + 2g(x). A derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas destas funções, ou seja, vamos derivar cada parcela e adicionar as suas derivadas. Então, vamos ter aqui a derivada em relação a "x" de 3f(x) mais a derivada em relação a "x" de 2g(x). Agora, na hora de olhar para a derivada de 3f(x), estamos vendo aqui um escalar multiplicando o f(x). E a derivada de um escalar vezes a função é a mesma coisa que o escalar, que é um número, vezes a derivada da função. E o que isto significa? Significa que, neste primeiro termo, temos a derivada de 3f(x) e pode ser reescrito como 3 vezes a derivada do f(x) em relação a "x". Da mesma forma para o g(x). Vamos ter 2 vezes a derivada em relação a "x" do g(x). Então, aqui temos que a derivada de h(x) vai ser 3 vezes a derivada de f(x) mais 2 vezes a derivada de g(x). Podemos reescrever, então, h'(x) é igual a 3 vezes f'(x) mais 2 vezes g'(x). Provavelmente você já está bem familiarizado com esta ideia de que derivada de 3 vezes alguma coisa é a mesma coisa que 3 vezes a derivada daquela função. De fato, você poderia ir tranquilamente, de maneira bem rápida, daqui até aqui. Bom, agora já podemos verificar qual é o valor do h'(x) quando "x" vale 9. h'(9) vai ser igual a 3 vezes o f'(9) mais 2 vezes g'(9). Agora, precisamos ver qual é o valor do f'(9). Ou seja, o valor da derivada do f(x), quando x = 9. Olhando na tabela, quando x = 9, f = 1. E o que nos interessa de fato, agora, é que o f' vale 3. Então, aqui na nossa expressão, toda esta parte vale 3. Mas, o que é o g'(9)? Vamos precisar agora olhar com mais atenção para o g(x). Há mais de uma forma de analisar isto, mas vamos tentar observando o que acontece no gráfico desta função. Temos aqui os eixos "x" e "y". E como esta função modular se comporta? Quando ela vai atingir um ponto mínimo? Primeiro, vamos nos lembrar de que o valor absoluto de algum número real é algum valor não negativo. Pode ser zero ou positivo. E o menor valor possível disto que está aqui nos módulos é quando, entre as barrinhas, temos o zero. E para que isso aconteça, o "x" deve ser 1. Calculando, então, o g(1). Quando x = 1, o "g" vai ser, aqui no módulo eu vou ter zero mais 1 ali de fora. Então, o g(1) = 1. Isto nos dá este ponto, bem aqui. Agora, o que acontece para valores de "x" maiores do que 1? Vamos agora estudar com mais detalhes o g(x). E quando temos uma função modular, aqui ela está bem simples, podemos separá-la em uma função definida por mais de uma expressão. E nós vamos fazer isso observando quando que o que está entre as barras do módulo é não negativo em uma situação, e a outra situação é quando o que está entre as barras do módulo é o valor negativo. Já sabemos que entre as barrinhas do módulo temos valores não negativos, quando "x" é um valor maior que ou igual a 1. Quando "x" é um valor maior que ou igual a 1, o que está entre as barras do módulo é um valor positivo, e sendo um valor positivo, entre os módulos podemos simplesmente ignorar as suas barrinhas. Lembre-se, o módulo de 8 é 8. O módulo de mil é mil. O módulo de um valor não negativo é ele mesmo, então, quando "x" é maior que o igual 1, o que está entre os módulos é um valor não negativo. Portanto, podemos simplesmente esquecer o módulo. E neste intervalo, teríamos que o g(x) é igual simplesmente a "x - 1 + 1". O que podemos simplificar para "x". g(x) é igual a "x", para "x" maior que ou igual a 1. Agora, precisamos estudar como g(x) é definida para "x" menor do que 1. Quando "x" é menor do que 1, o que está entre as barras é um valor negativo. E o módulo de um valor negativo é o seu oposto. Por exemplo, módulo de -9 é 9, módulo de -15 é 15. Então, o módulo de x - 1 vai ser o oposto disto que é 1 - x. Então, neste intervalo, teremos g(x) definido como 1 - x + 1. O que significa simplesmente 2 - x. Então, para "x" maior que ou igual a 1, nós olhamos para esta expressão. Sabemos que o gráfico disso é uma reta. E qual é a inclinação desta reta? É 1. Então, para "x" maior que ou igual a 1, o gráfico da função "g" é esta reta, na verdade, esta semirreta. Lembrando que a inclinação desta reta é de 1. Para cada valor aumentado no "x", temos um valor aumentado no "y". Por outro lado, se o "x" é menor do que 1, a expressão que define "g" é 2 - x. Isto significa que a inclinação da reta é -1. Teríamos esta semirreta aqui. Voltando ao nosso problema, nós estamos procurando g'(9). E sabemos que 9 é um valor de "x" que está aqui. E o que é o g'(9)? Vamos lembrar de que isto que eu estou destacando em amarelo é o gráfico de y = g(x). Ou seja, a função g(x) que nós estávamos analisando. E voltando, o que é o g'(9)? A derivada de "g" enquanto x = 9. Estamos procurando exatamente a inclinação do gráfico quando x = 9. E nós já sabemos que essa inclinação é 1. Então, aqui na nossa expressão, g'(9) = 1. Então, agora podemos calcular o valor da expressão. Ou seja, o h'(9) que nós estávamos procurando é 3 vezes 3 que resulta em 9, mais 2 vezes 1 que são 2, 9 + 2 = 11. h'(9) = 11. Isto significa que a inclinação da reta tangente ao gráfico de "h", quando "x" vale 9, é 11. Até o próximo vídeo!