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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 2
Lição 10: A regra do quocienteExemplo resolvido: regra do quociente com tabela
Dados os valores de f e f' em x=-1 e que g(x)=2x³, calculamos a derivada de F(x)=f(x)/g(x) em x=-1.
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Transcrição de vídeo
RKA7MP - Seja "f" uma função,
tal que f(-1) é igual a 3, e "f" linha de -1 é igual a 5. Seja "g" uma função definida
por g(x) igual a 2x³. Seja F maiúsculo uma função definida como F(x) igual a f(x) sobre g(x). O que queremos obter é a derivada do "F",
quando "x" vale -1. Uma ideia é obter quem é o F(x), derivar e saber o seu valor
quando "x" é -1. Observe que o "F" é o quociente
de duas funções. Dito isto, não temos dúvida de que a regra do quociente
vai ser importante aqui. Se você esquecer como funciona
a regra do quociente, você pode obtê-la rapidamente através da regra do produto e da
regra da cadeia. Mas vamos agora nos lembrar
da regra do quociente propriamente. Se temos uma função definida pelo consciente de uma função,
que aqui é "f", por outra função "g" aqui no denominador, a derivada desta função, que aqui é o "F", o F' (x), vai ser a derivada da primeira, a primeira é a função do numerador, derivada de "f" em relação a "x", vezes a segunda,
que é a função do denominador, menos a primeira, que é, neste caso, f(x), vezes a derivada da segunda, ou seja,
a derivada da função do denominador. Tudo isto sobre a segunda função, ou seja, a função do denominador
elevada ao quadrado. Você pode escrever isto novamente usando outras notações como, por exemplo, em vez de escrever dx do g(x), escrever simplesmente g'(x). Aqui, da mesma forma,
teríamos f'(x). Lembre-se de que queremos obter o valor
do F' quando "x" vale -1. Podemos, então,
reescrever esta expressão acima, F'(-1) igual, vou repetir a expressão acima mas,
no lugar de "x", colocar -1, Vamos ter f'(-1), vezes g(-1) a derivada da primeira vezes
a segunda sem derivar, quando "x" é -1, menos a primeira, que é o "f" minúsculo,
quando "x" é -1, vezes a derivada da segunda, ou seja,
o g'(-1), tudo isto sobre [g(-1)]². E, agora, nós temos condições de saber quem é o f'(-1), o g(-1) o f(-1), o g'(-1). O f(-1) é igual a 3,
está dado aqui no enunciado, e f'(-1) é igual a 5.
Aqui está fácil. No caso de "g", nós temos aqui
a sua definição, podemos obter g(-1)
e g'(-1) a partir dela. g(-1) vai ser 2 vezes (-1)³. (-1)³ dá -1, vezes 2, resulta em -2. Agora, vamos olhar para a derivada de "g". Primeiro, obtemos a derivada para depois
aplicar -1 no lugar do "x". O g'(x), basta usar a regra da potência: o expoente 3 vai multiplicar 2,
vamos ter 6, x², diminuímos 1 no expoente. Agora, sim, podemos trocar o "x" por -1, vamos ter g'(-1) igual a 6 vezes -1². -1² é 1, vezes 6 é 6. Agora podemos tomar a expressão
do F'(-1), e fazer as substituições. f'(-1), temos ali que é 5. g(-1) é -2. f(-1), temos aqui que é 3. g'(-1), temos aqui que é 6. E, finalmente, o g(-1)², g(-1) é -2 elevado ao quadrado. Agora, podemos simplificar esta expressão
efetuando estes cálculos. 5 vezes -2 é -10, menos 3 vezes 6 que é 18, e isto sobre (-2)², que resulta em 4 positivo. Finalmente, isto nos dá -28 sobre 4, o que resulta, naturalmente, em -7. Este é um rápido exemplo de aplicação
da regra do quociente. Espero que tenha ajudado.
Até o próximo vídeo.