Justificativa da regra da potência

RKA10MP – O que quero fazer neste vídeo é utilizar a regra da potência e buscar resultados que parecem aceitáveis. E uma coisa a se falar é que isso não é a prova da regra da potência. Mas, pelo menos, vai nos deixar um pouco mais confortáveis utilizando esta regra. Então, vamos supor que eu tenha este f(x) sendo igual a “x”. A regra da potência nos diz que f'(x) será igual a quanto? Sabemos que “x” é o mesmo que x¹, então implicitamente já sabemos que este “n” é igual a 1. E levando este 1 para frente, teremos 1 vezes x¹⁻¹, ou seja, teremos 1 vezes x⁰. A gente sabe que todo número elevado a zero é igual a 1, então este x⁰ é igual a 1. Deixe-me plotar um gráfico a respeito dessa função para a gente conseguir visualizar um pouco melhor essa ideia. Vou fazer um gráfico dessas funções, este é o eixo “y” e este é o eixo “x”. Vamos ter “y” igual a “x”, já que “y” é igual a f(x). Então fica mais ou menos deste jeito: “y” é igual a “x”, ou seja, f(x) é igual a “x”. Se a gente derivar este f(x), e já vimos que ele é igual a 1, quando a gente olha para a nossa função, percebemos que a inclinação desta reta, ou a reta tangente bem neste ponto, terá uma inclinação contínua e igual a 1, independentemente do valor de “x” que a gente observar, ou seja, teremos uma reta, uma reta com uma inclinação constante e igual a 1, nesse caso. Isso é bem consistente com o que sabemos sobre derivar das inclinações. Podemos desenhar esta derivada. Então, estou dizendo que, ao longo de todo o “x”, vamos ter uma reta horizontal e igual a 1, independentemente do valor que a gente atribua a “x”. Agora se a gente for para este outro ponto, a inclinação, sem dúvida, também vai ser igual a 1. Se for aqui, a inclinação também é igual a 1. Assim, a gente vai ter uma ótima resposta, mas vamos tentar algo que mude esta inclinação. Vamos dizer que eu tenha g(x) igual a x². A regra da potência nos diz que g'(x) vai ser igual a… A gente coloca este 2 na frente vezes x²⁻¹. E 2 - 1 é igual a 1. Assim, a gente vai ter que a derivada desta função é igual a 2 vezes “x”. Vamos fazer também um gráfico desta função? O eixo “y” e o eixo “x”. Deixe-me marcar algumas coisas. Aqui vou ter 1, 2, 3, 4, 5 e aqui vou ter 1, 2, 3, 4. E g(x), quando “x” é zero, vai ser zero. Quando “x” for igual a 1, g(x) é igual a 1. Quando “x” é igual a 2, g(x) vai ser igual a 4. Então a gente vai ter 1, 2, 3, 4. Deixe-me colocar aqui… Quando “x” é -2 também vamos ter algo igual a 4. Assim, vamos ter uma parábola. Você já deve ter visto ao longo de muitos anos. Uma parábola se parece com isso. Lembre-se que a parábola tem dois lados bem simétricos, então vou tentar desenhar isso mais ou menos simétrico. Pronto, então temos o gráfico de g(x), em que g(x) é igual a x². Agora a gente pode fazer o gráfico de g'(x). E o que a regra da potência disse para a gente sobre g'(x)? A gente conseguiu obter uma resposta igual a 2x, então isso daqui é uma reta. A derivada de g(x), ou seja, g'(x) é uma reta passando pela origem. Quando “x” é igual a -2, vamos ter uma inclinação negativa, já que vamos ter 2 vezes -2, que é igual a -4. Então, a gente vai ter uma inclinação negativa e bem íngreme. Isso nos mostra a inclinação neste ponto. E neste ponto a inclinação é -4. A inclinação da reta tangente seria algo parecido com isso e parece ter uma inclinação bem aceitável. Agora o que acontece se a gente for para onde “x” é igual a zero? Neste ponto a derivada, ou g', vai ser igual a zero, afinal de contas, a gente vai ter 2 vezes zero. Então, neste ponto, vamos ter uma inclinação igual a zero, ou seja, uma reta tangente sendo horizontal. Observando na parábola, isso faz muito sentido. A inclinação da reta tangente se parece com algo assim neste ponto. Estamos no ponto mínimo, no vértice desta parábola, e a inclinação neste ponto vai ser igual a zero. Agora se a gente vier para “x” igual a 2, o que vai acontecer? Podemos perceber que g' é igual a 2x. Assim a gente vai ter 2 vezes 2, que é igual a 4. A inclinação da reta tangente neste ponto vai ter essa aparência. Então neste ponto em que “x” é igual a 2, vamos ter uma inclinação igual a 4. Tudo isso que observamos parece ser bem aceitável e nos mostra que, de fato, a regra da potência faz muito sentido. Agora eu gostaria que você pegasse outras funções e tentasse fazer o mesmo que fiz aqui. Então, aquele forte abraço e até o próximo vídeo!