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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 2
Lição 12: Vídeos opcionais- Prova: derivabilidade implica continuidade
- Justificativa da regra da potência
- Demonstração da regra da potência para potências formadas por números inteiros e positivos
- Demonstração da regra da potência para a função de raiz quadrada
- Limite de sen(x)/x conforme x se aproxima de 0
- Limite de (1-cos(x))/x conforme x se aproxima de 0
- Prova da derivada de sen(x)
- Prova da derivada de cos(x)
- Demonstração da regra do produto
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Justificativa da regra da potência
Antes de realmente demonstrar a regra da potência, mostramos por que ela faz sentido considerando as derivadas de x¹ e x². Versão original criada por Sal Khan.
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- regra de tres simples como e que e ?(4 votos)
Transcrição de vídeo
RKA10MP – O que quero fazer neste vídeo
é utilizar a regra da potência e buscar resultados
que parecem aceitáveis. E uma coisa a se falar é que isso
não é a prova da regra da potência. Mas, pelo menos, vai nos deixar um pouco
mais confortáveis utilizando esta regra. Então, vamos supor que eu tenha
este f(x) sendo igual a “x”. A regra da potência nos diz
que f'(x) será igual a quanto? Sabemos que “x” é o mesmo que x¹, então implicitamente já sabemos
que este “n” é igual a 1. E levando este 1 para frente,
teremos 1 vezes x¹⁻¹, ou seja, teremos 1 vezes x⁰. A gente sabe que todo número
elevado a zero é igual a 1, então este x⁰ é igual a 1. Deixe-me plotar um gráfico
a respeito dessa função para a gente conseguir visualizar
um pouco melhor essa ideia. Vou fazer um gráfico dessas funções,
este é o eixo “y” e este é o eixo “x”. Vamos ter “y” igual a “x”,
já que “y” é igual a f(x). Então fica mais ou menos deste jeito:
“y” é igual a “x”, ou seja, f(x) é igual a “x”. Se a gente derivar este f(x),
e já vimos que ele é igual a 1, quando a gente olha para a nossa função,
percebemos que a inclinação desta reta, ou a reta tangente bem neste ponto,
terá uma inclinação contínua e igual a 1, independentemente do valor de “x”
que a gente observar, ou seja, teremos uma reta, uma reta com uma inclinação
constante e igual a 1, nesse caso. Isso é bem consistente com o que sabemos
sobre derivar das inclinações. Podemos desenhar esta derivada. Então, estou dizendo que,
ao longo de todo o “x”, vamos ter uma reta horizontal e igual a 1, independentemente do valor
que a gente atribua a “x”. Agora se a gente for
para este outro ponto, a inclinação, sem dúvida,
também vai ser igual a 1. Se for aqui, a inclinação também
é igual a 1. Assim, a gente vai ter uma ótima resposta, mas vamos tentar algo
que mude esta inclinação. Vamos dizer que eu tenha
g(x) igual a x². A regra da potência nos diz
que g'(x) vai ser igual a… A gente coloca este
2 na frente vezes x²⁻¹. E 2 - 1 é igual a 1. Assim, a gente
vai ter que a derivada desta função é igual a 2 vezes “x”. Vamos fazer também um gráfico
desta função? O eixo “y” e o eixo “x”.
Deixe-me marcar algumas coisas. Aqui vou ter 1, 2, 3, 4, 5 e aqui vou ter 1, 2, 3, 4. E g(x), quando “x” é zero,
vai ser zero. Quando “x” for igual a 1,
g(x) é igual a 1. Quando “x” é igual a 2,
g(x) vai ser igual a 4. Então a gente vai ter 1, 2, 3, 4.
Deixe-me colocar aqui… Quando “x” é -2 também
vamos ter algo igual a 4. Assim, vamos ter uma parábola. Você já deve ter visto ao longo
de muitos anos. Uma parábola se parece com isso. Lembre-se que a parábola
tem dois lados bem simétricos, então vou tentar desenhar isso
mais ou menos simétrico. Pronto, então temos o gráfico de g(x),
em que g(x) é igual a x². Agora a gente pode fazer
o gráfico de g'(x). E o que a regra da potência
disse para a gente sobre g'(x)? A gente conseguiu obter uma resposta
igual a 2x, então isso daqui é uma reta. A derivada de g(x), ou seja,
g'(x) é uma reta passando pela origem. Quando “x” é igual a -2,
vamos ter uma inclinação negativa, já que vamos ter 2 vezes -2,
que é igual a -4. Então, a gente vai ter uma inclinação
negativa e bem íngreme. Isso nos mostra a inclinação neste ponto.
E neste ponto a inclinação é -4. A inclinação da reta tangente
seria algo parecido com isso e parece ter uma inclinação bem aceitável. Agora o que acontece se a gente
for para onde “x” é igual a zero? Neste ponto a derivada,
ou g', vai ser igual a zero, afinal de contas,
a gente vai ter 2 vezes zero. Então, neste ponto, vamos ter
uma inclinação igual a zero, ou seja, uma reta tangente
sendo horizontal. Observando na parábola,
isso faz muito sentido. A inclinação da reta tangente
se parece com algo assim neste ponto. Estamos no ponto mínimo,
no vértice desta parábola, e a inclinação neste ponto
vai ser igual a zero. Agora se a gente vier para “x” igual a 2,
o que vai acontecer? Podemos perceber que g' é igual a 2x. Assim a gente vai ter 2 vezes 2,
que é igual a 4. A inclinação da reta tangente
neste ponto vai ter essa aparência. Então neste ponto em que “x” é igual a 2,
vamos ter uma inclinação igual a 4. Tudo isso que observamos parece ser
bem aceitável e nos mostra que, de fato, a regra da potência faz muito sentido. Agora eu gostaria que você pegasse
outras funções e tentasse fazer o mesmo que fiz aqui. Então, aquele forte abraço
e até o próximo vídeo!