Demonstração da regra da potência para a função de raiz quadrada

RKA1JV - Neste vídeo, eu quero te mostrar a prova da derivada da raiz quadrada. O que nós queremos aqui é encontrar a derivada em relação a "x", obviamente, da raiz quadrada de "x". Para a gente realizar a demonstração de uma derivada, a gente precisa calcular a derivada através da definição. E como que a gente consegue calcular a derivada de uma função através da definição? Para fazer isso, a gente vai usar a ideia do limite. A gente tem um limite do Δx tendendo a zero. Lembre-se que alguns livros vão colocar que é o "H" tendendo a "x", em que o Δx vai ser o "H" menos o "x". A gente tem aqui que a derivada em relação a "x" de uma determinada função é igual ao limite com Δx tendendo a zero dessa função avaliada no ponto (x, Δx). A gente vai ter aqui a raiz quadrada de "x + Δx", menos essa função no ponto "x". A gente vai ter raiz quadrada de "x", tudo isso dividido pelo próprio Δx. Agora, uma forma interessante de a gente calcular isso aqui. Se a gente substituir o Δx aqui por zero, a gente vai chegar numa indeterminação. E a gente não vai conseguir calcular esse limite. Uma forma de eliminar essa indeterminação seria encontrando uma outra função em que o limite nesse ponto Δx tendendo a zero tenha esse mesmo valor. E uma forma de fazer isso seria multiplicando essa função aqui por isso que está aqui em cima, mas trocando o sinal aqui, em vez de aqui ser menos (-), a gente colocar o mais (+). Por exemplo, a gente vai pegar e multiplicar isso tudo aqui pela raiz quadrada de "x + Δx". Em vez de ter uma subtração, a gente vai ter uma adição da raiz quadrada de "x". E como a gente multiplicou aqui em cima por essa expressão aqui, a gente também precisa multiplicar o denominador pela mesma expressão. Porque aí a gente não altera o resultado dessa função. Então, a gente vai ter a raiz quadrada de "x + Δx", mais a raiz quadrada de "x". Porque tendo essa expressão aqui no numerador e no denominador, a gente não altera o resultado aqui da função. Agora que a gente fez isso, a gente pode utilizar algumas propriedades da matemática. Por exemplo, a gente sabe que (a + b) vezes (a - b) é igual a² - b². E é justamente o que a gente tem aqui. A gente tem aqui "a + b" vezes "a - b", então a gente pode ter a², que é essa parte, menos b², que é essa parte aqui. Então, continuamos aqui embaixo. A derivada em relação a "x" da raiz quadrada de "x" é igual ao limite com Δx tendendo a zero de a². Ou seja, a raiz quadrada de "x" mais Δx² que é igual a "x" mais Δx. Nós vamos ter aqui "x" mais Δx, menos b². Ou seja, menos a raiz quadrada de x², que é igual ao próprio "x". isso aqui dividido por Δx, vezes tudo isso aqui embaixo. A gente vai ter aqui Δx vezes a raiz quadrada de "x + Δx", mais a raiz quadrada de "x". Vamos calcular isso aqui agora. "x" menos "x" é igual a zero, sobrando apenas o Δx aqui no numerador. Só que aqui a gente tem um Δx em evidência no denominador, então, a gente vai ter Δx dividido por Δx que é igual a 1. Então isso é que vai ser igual ao limite com Δx tendendo a zero, de 1 sobre essa parte aqui que sobrou. A raiz quadrada de "x + Δx", mais a raiz quadrada de "x". Calculando isso aqui no limite em que Δx tende a zero, a gente vai ter 1 sobre, como Δx tende a zero, essa parte vem para o zero. Então, a gente vai ter apenas a raiz quadrada de "x" mais a raiz quadrada de "x". A gente vai ter como resposta 1 sobre a raiz quadrada de "x" mais a raiz quadrada de "x", é igual a duas vezes a raiz quadrada de "x". A gente tem que a derivada da raiz quadrada de "x", em relação a "x", é igual a 1 sobre 2 vezes a raiz de "x", que é a mesma coisa que 1/2 vezes "x" elevado a -1/2. Ou seja, -1/2. Essa é a resposta aqui da derivada da raiz quadrada de "x". Lembrando que isso aqui está de acordo com a regra da potência que a gente fez lá para os polinômios. Então, lembrando, sempre que a gente tem um polinômio, a gente tem que a derivada em relação a "x" para esse polinômio, ou seja, para "x" elevado a "n", isso aqui vai ser igual a esse "n" vezes "x" elevado a "n - 1". Neste caso aqui, a gente tinha "x" elevado a 1/2, então, a gente vai ter 1/2 vezes "x" elevado a 1/2 menos 1 que vai ser igual a -1/2. Então, isso aqui está de acordo com a nossa regra da potência para as derivadas de polinômios.