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Demonstração da regra da potência para potências formadas por números inteiros e positivos

Transcrição de vídeo

eu já fiz um curso aqui sobre o teorema binominal agora que você já conhece a definição de derivada a gente consegue fazer uma demonstração pouco melhor utilizando essas idéias então vamos lá o que nós queremos aqui nesse vídeo é determinar a derivado em relação à x de x e levado a ele então vamos fazer essa derivada aplicando a definição da elevada ea definição da derivada diz que a derivada de alguma coisa é igual ao limite de delta x tendendo a zero de x + delta x nesse caso é levado a eni - x elevado a eni sobre delta x ok então é dessa forma que nós vamos conseguir calcular essa derivada só que aqui nós precisamos aplicar a propriedade binominal certo e se você não viu isso como eu disse já tem um vídeo aqui naquela academia mas vamos fazer isso daqui então nós vamos ter o limite de delta x tendendo a zero de x + delta x elevado a eni abrindo isso daqui numb nónio nós vamos ter x elevado a eni mas a análise combinatória dn com vezes x elevado a eni - um vezes delta x mas a análise combinatória den2 vezes x elevado a eni menos 2 vezes delta x ao quadrado mas e aí a gente vai fazendo isso daí até a gente ter a análise combinatória dmn vezes x elevado a 0 vezes delta x elevado a n então tudo isso daqui corresponde à x mas delta x elevado a emi isso tudo - sx elevado então - x elevado a eni / delta x agora o que nós já podemos fazer aqui inicialmente é eliminar sx elevado a eni com esse menu x elevado à l certo já que isso aqui é positivo e isso é negativo e é o mesmo número então a gente elimina esse com esse agora a gente tem toda essa parte que no numerador certo e tudo isso está sendo dividido por delta x mas como todos esses números aqui no numerador tem um delta x a gente pode anular cada um desses delta x com isso aqui já que a gente vai dividir de cada um desses delta x com esse que está no denominador então vamos rescrever isso a gente vai ter um limite de delta x tendendo a zero de análise combinatória den-1 vezes x elevado a eni - um como a que tinha apenas um delta x a gente vai anular essa data x com esse aqui certo então a gente já vai para esse segundo tempo mas a análise combinatória n 2 vezes x elevado a eni - 2a que não tinha delta x ao quadrado quando a gente dividir esse delta x ao quadrado por delta x a gente vai ter delta x elevado a 2 - 1 que é igual a delta x mas todos os outros termos até chegar nesse último termo é que a gente vai ter uma análise combinatória dna é certo peso x elevado a 0 vezes aqui a gente não vai ter delta x elevado a eni / delta x então a gente vai te delta x elevado a eni - um delta x elevado a eni - um olha que legal agora a gente tem um limite de delta x tendendo a zero certo e todos esses termos aqui a partir do segundo tem esse delta x tendendo a zero então quando a gente tem algo tendendo a zero multiplicando o outro número todo o termo vai tender 0 então aplicamos limite a gente vai ter apenas essa análise combinatória dna 11 vezes x elevado a eni - um então todo esse limite vai ser igual a análise combinatória dn é 11 vezes x elevado a eni menos um que a derivado em relação à x de x e levado à m agora que sei essa análise combinatória n1 essa análise combinatória que vai ser a uern fatorial dividido o com fatorial vezes e -1 fatorial vezes x elevado a eni - 1 b1 fatorial é igual à outra a gente pode anular isso aqui e aí a gente vai ter apenas r fatorial / pn -1 fatorial vezes x elevado a eni - 1 agora vamos observar essa parte aqui vamos supor que o m seja igual a 10 a gente vai ter aqui 10 fatorial e aqui 10 - 11 fatorial ou seja 9 fatorial repare que se eu tenho 10 fatorial e 9 fatorial que a gente vai ter dez vezes 9 18 17 até chegar um e nove 1817 até chegar a 1 então eu poderia manter o 10 aqui no numerador e dividir todos os outros termos por todos os outros termos aqui em baixo já que eles vão ser iguais ou seja ele fatorial sobre n - um fatorial é a mesma coisa que n então a gente vai ter aqui nb zes x elevado a eni - um então a derivada em relação à xdx elevado a eni é igual a ene vezes x elevado a eni - 1 o que nós fizemos aqui então foi determinado e privado em relação à x para x elevado a qualquer número inteiro positivo mais à frente eu vou fazer um vídeo mostrando o caso uma geral para um x e levado a qualquer número real tudo bem no início desse vídeo falei pra fazer essa derivada você precisava conhecer o teorema binominal mas na verdade nem precisa saber disso porque se você fizer qualquer expansão abdominal mesmo não conhecendo tudo isso por exemplo se você tivesse aqui a mais b ^ n você ia pegar aqui há elevado a eni mas n vezes a elevado a eni - um pizzi b mas e vai embora em tudo isso certo depois que você fizesse isso e aplicasse que os limites na verdade se eliminar toda essa parte que ia ficar apenas com esse primeiro termo então mesmo que seja importante você conhecesse teorema binominal na verdade você nem precisa saber dele basta fazer essa expansão aqui dentro você vai chegar esse termo claro só estou dizendo que você poderia fazer dessa forma mas é muito legal saber o teorema binominal e aplicar esse limite pra calcular essa derivada
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