Demonstração da regra da potência para potências formadas por números inteiros e positivos

RKA1JV - Eu já fiz um curso aqui sobre o teorema binominal. Agora que você já conhece a definição de derivada, a gente consegue fazer uma demonstração um pouco melhor utilizando essas ideias. Vamos lá, o que nós queremos aqui, neste vídeo, é determinar a derivada em relação a "x" de "xⁿ". Vamos fazer essa derivada aplicando a definição da derivada. E a definição da derivada diz que a derivada de alguma coisa é igual ao limite de Δx tendendo a zero de "x" mais Δx. Nesse caso, elevado a "n" menos "xⁿ" sobre Δx. É dessa forma que nós vamos conseguir calcular essa derivada. Só que aqui nós precisamos aplicar a propriedade binominal. Se você não viu isso, como eu disse, já tem um vídeo aqui na Khan Academy. Vamos fazer isso aqui. Nós vamos ter o limite de Δx tendendo a zero de "x" mais Δx elevado a "n". Abrindo isso aqui em um binômio, nós vamos ter "xⁿ", mais a análise combinatória de (n, 1), vezes xⁿ⁻¹ menos 1, vezes Δx, mais, a análise combinatória de (n, 2), vezes xⁿ⁻², vezes Δx². A gente vai fazendo isso até a gente ter a análise combinatória de (n, n) vezes "x" elevado a zero, vezes Δxⁿ. Tudo isso aqui corresponde a "x" mais Δxⁿ. Isso tudo menos esse xⁿ. Então, -xⁿ, dividido por Δx. Agora, o que nós já podemos fazer aqui, inicialmente, é eliminar esse xⁿ com esse -xⁿ. Já que isso aqui é positivo e esse é negativo e é o mesmo número. A gente elimina esse com esse, agora, a gente tem toda essa parte aqui no numerador. Tudo isso está sendo dividido por Δx, mas como todos esses números aqui no numerador tem um Δx, a gente pode anular cada um desses Δx com esse aqui, Já que a gente vai dividir cada um desses Δx com esse que está no denominador. Vamos reescrever isso. A gente vai ter o limite de Δx tendendo a zero, de análise combinatória de (n, 1) vezes xⁿ⁻¹, como aqui tinha apenas um Δx, a gente vai anular essa Δx com esse aqui. A gente já vai para esse segundo termo, mais a análise combinatória (n, 2) vezes xⁿ⁻². Aqui não tinha Δx²? Quando a gente dividir esse Δx² por Δx, a gente vai ter Δx²⁻¹ que é igual a Δx, mais todos os outros termos até chegar nesse último termo. E aqui a gente vai ter uma análise combinatória de (n, n), vezes "x" elevado a zero, vezes, aqui a gente não vai ter Δxⁿ dividido por Δx? Então, a gente vai ter Δxⁿ⁻¹. Olha que legal, agora. A gente tem o limite de Δx tendendo a zero e todos esses termos aqui, a partir do segundo, têm esse Δx tendendo a zero. Quando a gente tem algo tendendo a zero multiplicando outro número, todo o termo vai tender a zero. Então, aplicando o limite, a gente vai ter apenas essa análise combinatória de (n, 1) vezes xⁿ⁻¹. Todo esse limite vai ser igual à análise combinatória de (n, 1) vezes xⁿ⁻¹, que é a derivada em relação a "x" de xⁿ. Agora, o que seria essa análise combinatória (n, 1)? Essa análise combinatória aqui vai ser igual ao "n" fatorial dividido por 1 fatorial, vezes "n - 1" fatorial, vezes xⁿ⁻¹. 1 fatorial é igual a 1. A gente pode anular isso aqui e a gente vai ter apenas "n" fatorial dividido por "n - 1" fatorial, vezes xⁿ⁻¹. Agora, vamos observar essa parte aqui. Vamos supor que o "n" seja igual a 10, a gente vai ter aqui 10 fatorial. E aqui 10 menos 1 fatorial, ou seja 9 fatorial. Repare que se eu tenho 10 fatorial e 9 fatorial aqui, a gente vai ter 10 vezes 9, vezes 8, vezes 7, até chegar a 1. E aqui 9 vezes 8, vezes 7, até chegar a 1. Eu poderia manter o 10 aqui no numerador e dividir todos os outros termos por todos os outros termos aqui embaixo. Já que eles vão ser iguais. Ou seja, "n" fatorial sobre n - 1 fatorial é a mesma coisa que "n". A gente vai ter aqui "n" vezes xⁿ⁻¹. Então, a derivada em relação a "x" de xⁿ é igual a "n" vezes xⁿ⁻¹. O que nós fizemos aqui então foi determinar a derivada em relação a "x" para "x" elevado a qualquer número inteiro positivo. Mais à frente, eu vou fazer um vídeo mostrando um caso mais geral. Para um "x" elevado a qualquer número real. Tudo bem? No início deste vídeo, falei que para fazer essa derivada, você precisava conhecer o teorema binominal. Mas, na verdade, nem precisa saber disso, porque se você fizer qualquer expansão binominal, mesmo não conhecendo tudo isso, por exemplo, se você tivesse aqui (a + b)ⁿ, você pegaria aⁿ mais "n" vezes aⁿ⁻¹, vezes "b", mais, e vai embora. Depois que você fizesse isso e aplicasse os limites, na verdade, você iria eliminar toda essa parte aqui, iria ficar apenas com esse primeiro termo. Mesmo que seja importante você conhecer esse teorema binominal, na verdade, você nem precisa saber dele. Basta fazer essa expansão aqui dentro que você vai chegar a esse termo. Claro, só estou dizendo que você poderia fazer dessa forma. Mas é muito legal saber o teorema binominal e aplicar a esse limite para calcular essa derivada.