Regra da cadeia

RKA2JV - Neste vídeo vamos tratar de um conceito importantíssimo no cálculo, e que você usa em muitos momentos em que vai calcular derivadas. É a chamada "regra da cadeia", que eu vou apresentar aqui e pode, no começo, parecer um pouco assustador, mas depois vai ficar bastante familiar, especialmente nos próximos vídeos, nos quais você vai lidar com vários exemplos. E, com isso, tudo fará mais sentido. Suponhamos que temos uma função "h", e ela é definida por h(x) = (sen x)². Inclusive eu poderia escrever "sen² x", mas eu acho mais claro lidar desta outra forma. E nós vamos tratar de saber aqui o que é a derivada de h(x), o que é h'(x). Bem, h'(x) é, então, a derivada de "h" em relação a "x": dh/dx. Para obter esta derivada, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia aparece para calcular a derivada de qualquer situação que envolve a derivada de uma função composta. Ou seja, uma função que é definida pela composição de mais de uma função. Vamos tratar disso e fazer um pequeno experimento mental aqui. Se eu perguntasse para você qual é a derivada em relação a "x" da função definida por x², a derivada de x² em relação a "x", o que nós obtemos? 2x, você fez isso várias e várias vezes, já. E se fosse para obter a derivada de a² em relação a "a"? Seria exatamente a mesma coisa, certo? Esta derivada seria 2a. Agora vamos fazer algo um pouco mais elaborado. Qual seria a derivada em relação a (sen x) de (sen x)²? Observe que, aqui, temos uma situação bem análoga àquelas de cima, em que, onde eu tinha "x", eu derivava x², e onde eu tinha "a" na variável, eu derivava a². E, no lugar do "x" e no lugar do "a", eu tenho agora (sen x). Se, antes, eu achava a derivada fazendo 2 vezes aquela variável que estava lá, agora eu vou fazer a mesma coisa, ou seja, vou ter 2 vezes (sen x) como esta derivada. A primeira derivada era em relação a "x", a segunda derivada era em relação a "a", a terceira, esta derivada agora, é em relação a (sen x). E o que a regra da cadeia nos diz é que esta derivada de (sen x)² em relação a "x", que estamos procurando, é a derivada desta função "de fora", digamos aqui, de alguém elevado ao quadrado, e a derivada disso é 2 vezes (sen x), em relação a (sen x), isso vezes a derivada da função "de dentro" aqui, ou seja, a derivada de (sen x). E vamos relembrar que a derivada de (sen x) em relação a "x" é (cos x), já vimos isso umas quantas vezes também. Então, a derivada que estamos procurando fica: (2sen x) vezes (cos x). Enfim, fizemos a derivada da função de fora, vezes a derivada da função de dentro, falando de uma maneira bem grosseira. Ou seja, a derivada da função de fora em relação à função de dentro vezes a derivada da função de dentro em relação à variável, que neste caso é "x". Escrevendo aqui esta primeira parte: 2sen x é a derivada de (sen x)² em relação a (sen x). E ela é multiplicada pela derivada de (sen x) em relação a "x". E neste momento nós vamos olhar com um pouquinho de intuição. Se nós olhássemos aqui para o d(sen x)/dx como números, e aqui como uma multiplicação de frações simplesmente, nós observamos que poderíamos cancelar algumas coisas aqui, que é exatamente o d(sen x) do numerador com o d(sen x) do denominador. E o que sobra de tudo isso é a derivada de (sen x)² em relação a "x". Não é exatamente assim que tudo acontece no universo do cálculo, aqui nesta situação, mas é para, intuitivamente, você poder olhar para isto e compreender o que aconteceu. E esta derivada de (sen x)² em relação a "x" é exatamente o dh/dx que nós estávamos procurando. Pode parecer um pouco estranho e um pouco assustador agora, mas, nos próximos vídeos, teremos vários exemplos. E, com isso, tudo fica mais familiar. Até lá!