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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 3
Lição 1: A regra da cadeia: introdução- Regra da cadeia
- Erros comuns na regra da cadeia
- Regra da cadeia
- Como identificar funções compostas
- Como identificar funções compostas
- Exemplo resolvido: derivada de cos³(x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de √(3x²-x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de ln(√x) usando a regra da cadeia
- Introdução à regra da cadeia
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Regra da cadeia
A regra da cadeia estabelece que a derivada de f(g(x)) é f'(g(x))⋅g'(x). Em outras palavras, ela nos ajuda a calcular a derivada de *funções compostas*. Por exemplo, sen(x²) é uma função composta porque pode ser construída como f(g(x)) para f(x)=sen(x) e g(x)=x². Usando a regra da cadeia e as derivadas de sen(x) e x², podemos encontrar a derivada de sen(x²). Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2JV - Neste vídeo vamos tratar
de um conceito importantíssimo no cálculo, e que você usa em muitos momentos
em que vai calcular derivadas. É a chamada
"regra da cadeia", que eu vou
apresentar aqui e pode, no começo,
parecer um pouco assustador, mas depois vai ficar bastante familiar,
especialmente nos próximos vídeos, nos quais você vai lidar
com vários exemplos. E, com isso, tudo
fará mais sentido. Suponhamos que
temos uma função "h", e ela é definida por
h(x) = (sen x)². Inclusive eu poderia
escrever "sen² x", mas eu acho mais claro
lidar desta outra forma. E nós vamos tratar de saber aqui
o que é a derivada de h(x), o que é h'(x). Bem, h'(x) é, então, a derivada de "h"
em relação a "x": dh/dx. Para obter esta derivada,
vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia aparece
para calcular a derivada de qualquer situação que envolve
a derivada de uma função composta. Ou seja, uma função que é definida
pela composição de mais de uma função. Vamos tratar disso e fazer um pequeno
experimento mental aqui. Se eu perguntasse para você
qual é a derivada em relação a "x" da função
definida por x², a derivada de x²
em relação a "x", o que
nós obtemos? 2x, você fez isso várias
e várias vezes, já. E se fosse para obter a derivada
de a² em relação a "a"? Seria exatamente a mesma coisa, certo?
Esta derivada seria 2a. Agora vamos fazer algo
um pouco mais elaborado. Qual seria a derivada em relação
a (sen x) de (sen x)²? Observe que, aqui, temos uma situação
bem análoga àquelas de cima, em que, onde eu tinha "x",
eu derivava x², e onde eu tinha "a"
na variável, eu derivava a². E, no lugar do "x" e no lugar do "a",
eu tenho agora (sen x). Se, antes, eu achava a derivada fazendo
2 vezes aquela variável que estava lá, agora eu vou fazer
a mesma coisa, ou seja, vou ter 2 vezes (sen x)
como esta derivada. A primeira derivada
era em relação a "x", a segunda derivada
era em relação a "a", a terceira, esta derivada agora,
é em relação a (sen x). E o que a regra
da cadeia nos diz é que esta derivada de (sen x)²
em relação a "x", que estamos
procurando, é a derivada desta função
"de fora", digamos aqui, de alguém elevado
ao quadrado, e a derivada disso é 2 vezes (sen x),
em relação a (sen x), isso vezes a derivada
da função "de dentro" aqui, ou seja, a derivada
de (sen x). E vamos relembrar que a derivada
de (sen x) em relação a "x" é (cos x), já vimos isso umas
quantas vezes também. Então, a derivada que estamos
procurando fica: (2sen x) vezes (cos x). Enfim, fizemos a derivada
da função de fora, vezes a derivada
da função de dentro, falando de uma
maneira bem grosseira. Ou seja, a derivada da função de fora
em relação à função de dentro vezes a derivada
da função de dentro em relação à variável,
que neste caso é "x". Escrevendo aqui esta
primeira parte: 2sen x é a derivada de (sen x)²
em relação a (sen x). E ela é multiplicada pela derivada
de (sen x) em relação a "x". E neste momento nós vamos
olhar com um pouquinho de intuição. Se nós olhássemos aqui para o
d(sen x)/dx como números, e aqui como uma multiplicação
de frações simplesmente, nós observamos que poderíamos
cancelar algumas coisas aqui, que é exatamente o
d(sen x) do numerador com o d(sen x)
do denominador. E o que sobra de tudo isso é a
derivada de (sen x)² em relação a "x". Não é exatamente assim que tudo
acontece no universo do cálculo, aqui nesta situação,
mas é para, intuitivamente, você poder olhar para isto
e compreender o que aconteceu. E esta derivada de (sen x)²
em relação a "x" é exatamente o dh/dx que nós
estávamos procurando. Pode parecer um pouco estranho
e um pouco assustador agora, mas, nos próximos vídeos,
teremos vários exemplos. E, com isso, tudo fica
mais familiar. Até lá!