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Exemplo resolvido: derivada de log₄(x²+x) usando a regra da cadeia

Neste vídeo, calculamos a derivada da função logarítmica log₄(x²+x) usando nosso conhecimento sobre a derivada de logₐ(x) e a regra da cadeia.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Temos aqui uma função definida por y = log₄ (x² + x). E queremos saber o que é a derivada de "y" em relação a "x". Você pode reconhecer imediatamente o fato de que esta é uma função composta. Estamos tomando o logaritmo na base quatro, não somente de "x", mas de uma outra expressão, que é "x² + x". Podemos dizer que esta parte em azul é u(x). E isso nos vai dar u'(x) que é derivada de "u" em relação a "x", como 2x + 1. Eu usei a regra da potência aqui. Lembrando, também, que a derivada de "x" em relação a "x" é simplesmente 1. Nós poderíamos agora chamar de uma função "v" o log₄ de toda esta coisa aqui. Ou seja, teríamos v(x) = log₄ (x). E a derivada em relação a "x" desta função. Ou seja, v'(x) = 1 / ln⁴, 4 é a base do logaritmo, vezes o "x". Há um vídeo demonstrando isso. E o que está acontecendo aqui é algo parecido com a derivada do ln(x). Mas, acontece uma troca de base, uma mudança de base para a base 4. Vale a pena você revisar aquele vídeo se ainda estiver em dúvida. Voltando aqui para a nossa função original que é y = log₄ (x² + x), ela pode ser vista como "v", lembre-se de que combinamos que o "v" é o log₄ de alguma coisa. E, neste caso, não temos simplesmente v(x), temos v (x² + x), que é justamente u(x). Ou seja, temos v(u(x)). Agora, nós sabemos, pela regra da cadeia, que a derivada de "y" em relação a "x" vai ser igual à derivada de "v" em relação a "u", que podemos representar por v'(u(x)) vezes a derivada de "u" em relação a "x". Ou seja, u'(x). Agora, vamos obter o v'(u(x)). O que é isso? É a derivada de "v" em relação àquilo que está em azul, em relação ao u(x). E essa derivada é 1 / ln⁴, vezes, agora, ao invés de colocar "x" aqui, como tínhamos ali naquele exemplo, vamos colocar o u(x). E tudo isso, vezes u'(x). Isso tudo fica, então, igual a 1/ ln⁴ vezes, u(x) é tudo aquilo, x² + x. Isso tudo multiplicado pela derivada de "u" em relação a "x", que é 2x + 1, como já fizemos. Podemos reescrever isso de maneira mais simples. Como, 2x +1 sobre ln⁴ vezes x² + x. E, pronto, conseguimos a derivada de "y" em relação a "x". Poderíamos manipular um pouco mais isto algebricamente, mas podemos considerar que aqui já chegamos ao que desejávamos. Até o próximo vídeo!