Derivadas de funções inversas

RKA3JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos aprender a derivar funções inversas. Então, vamos dizer que nós temos duas funções inversas aqui. A primeira é a função f(x), e a função g(x) que é a inversa de f(x). Então, f⁻¹(x). E, claro, se você não lembra o conceito de uma função inversa, eu sugiro que você revise os vídeos da Khan Academy. E uma propriedade da função inversa é que se eu pegar "g" composta de f(x), isso vai ser igual a "x". E isso vem da ideia de função. Por exemplo, se eu tenho um conjunto de partida e neste conjunto eu tenho um elemento "x" que é transformado em f(x) no conjunto de chegada, que é este segundo conjunto, uma função inversa pega o f(x) e transforma em "x". E nós representamos esta função inversa por um "f" elevado a -1. E, claro, até agora nós só vimos uma revisão de função inversa. Vamos aplicar este conceito no cálculo utilizando a regra da cadeia? Primeiro, eu vou começar aplicando a derivada em relação a "x" em ambos os membros desta equação. E aí, eu vou ter que a derivada em relação a x de g(f(x))) vai ser igual à derivada em relação a "x" de "x". Deixe-me só apagar o "x" e colocá-lo um pouco para o lado. Então, a derivada em relação a "x" de "x". E como resolvemos isso? Do lado esquerdo, nós devemos aplicar a regra da cadeia. E isto vai ser igual à derivada de "g" em relação a f(x). Ou seja, aplicando a regra da cadeia, nós vamos ter a derivada de g(f(x)) vezes a derivada da função de dentro, que é f(x). Então, a derivada de f(x). Isto vai ser igual a quê? A derivada em relação "x" de "x" vai ser igual a 1. Você pode aplicar a regra da potência neste "x" e vai encontrar facilmente 1. E podemos dividir ambos os membros desta equação por g'(f(x)). E aí, vamos ficar com a derivada de "x", que vai ser igual a 1, sobre a derivada de g(f(x)). Ou seja, para determinar a derivada de uma função inversa, você utiliza esta relação. Isso é interessante, porque a partir daqui nós conseguimos resolver diversas derivadas. E vamos tentar utilizar isso em algumas funções clássicas. Vamos dizer que nós temos aqui a função "e" elevado a "x", e a função inversa, que vamos chamar de g(x), vai ser igual a "f" elevado a -1 de "x". E qual é a função inversa de "e" elevado a "x"? Para descobrir isso, nós chamamos f(x) de "y" e igualamos a "e" elevado a "x", e trocamos o "x" e o "y" ficando com "x" igual a "e" elevado a "y". E para resolver isso, nós podemos aplicar o logaritmo natural em ambos os membros da equação. Ficando com ln(x) = y. Portanto, a função inversa de "e" elevado a "x" é a função ln(x). E, claro, todo este conceito de funções inversas, nós já vimos em vídeos anteriores. Por isso, eu sugiro que você dê uma olhada se você não entendeu esta parte. Então, a função g(x) vai ser igual ao logaritmo natural de "x". Ok, agora vamos ver se isto aqui é verdade para estas duas funções. Primeiro, qual é a derivada de f(x)? Nós sabemos que a derivada de "e" elevado a "x" é o próprio "e" elevado a "x". E de vídeos passados, nós também sabemos que a derivada da função ln(x) = 1/x. Então, para testar se isso aqui é verdade, nós vamos pegar a derivada de f(x) que é "e" elevado a "x". Então, "e" elevado a "x" é igual a 1 sobre a derivada de g(f(x)). Sendo que g'(x) = 1/x. Portanto, 1/1 dividido por "e" elevado a "x". Resolvendo isso, nós vamos ter "e" elevado a "x". Ou seja, esta relação é verdadeira. Enfim, esta igualdade é bastante útil para calcular derivadas de funções inversas. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!