Se você está vendo esta mensagem, significa que estamos tendo problemas para carregar recursos externos em nosso website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conteúdo principal

Derivadas de funções inversas: a partir de tabela

Dada uma tabela de valores de g, sua inversa h e sua derivada g', calculamos a derivada da inversa, h', para um determinado valor de x.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA1JV - Sejam "g" e "h" funções inversas, a tabela a seguir mostra alguns valores de "g", "h" e g'. Ele pede qual é o h' de 3. Em primeiro lugar, vamos saber o que significa uma função inversa. Você tem um conjunto aqui, vamos chamar de domínio e você vai ter um "x" que é a sua partida. E você vai ter um contradomínio que vai formar sua imagem e você tem uma função. Vamos chamar de função "h". Aqui, você vai obter o h(x), se a função é inversa, a função inversa agora vai pegar esse elemento do contradomínio, que agora vai virar o domínio, ou seja, essa imagem vai virar função da função. Portanto, agora, para você voltar ao ponto "x", você aplica uma função "g", que é a função inversa. Se "x" leva h(x), "g" pega h(x) e volta a ser "x". Portanto, "x" é igual a g(h(x)). Essa é a essência de uma função inversa. Então, se nós temos que g(h(x)) é igual a "x", mostrando que ela é uma função inversa, como nós vamos operar pelos valores que nós temos aqui? Nós podemos derivar em relação a "x" de ambos os lados. Derivando em relação a "x" de ambos os lados, nós vamos ter uma derivada de uma função, mas o "x" está dentro de uma função de uma função. Ou seja, você vai ter que usar a regra da cadeia. Para você utilizar a regra da cadeia, talvez a maneira mais fácil de você decorar a regra da cadeia é simplesmente porque a dificuldade está em que você não pode derivar essa função sendo uma função de uma função. Você pode fazer o seguinte: você pode derivar g(h(x)) em relação a dx, desculpa, em relação a dh(x), vezes dh(x)/dx. Então, na hora que você pega e aplica a regra da cadeia, você tem o "d" de g(h(x)), mas está sobre dx. Você não consegue derivar. Agora, você pegou e quebrou essa em duas derivadas, "d" de g(h(x)) / d(h(x)), você pode derivar, se elas são deriváveis, obviamente. Vezes o dh(x)/dx. Ora esse camarada aqui, nada mais é do que g'(h(x)). E esse camarada aqui nada mais é do que h'(x). Voltando para a nossa expressão, nós temos que g'(h(x)) vezes h'(x) é igual a dx/dx, ou seja, a derivada de "x", que vai dar 1, obviamente. Agora, vamos ver, você tem h(x)? Tem, você tem h(x) para "x" igual a 3, ele quer que seja 3. Então, você tem o h(3), você tem, h(3) é 4. Então, você fica com g'(h(3)), vezes h'(3) que você não sabe, é o que você quer saber, é igual a 1. Ora, como o h(3) é 4, você, agora, vai ter o g'(4). Quanto é o g'(4)? g'(4) também foi dado, é 1/2. O g'(4) vezes h'(3) é igual a 1. Ou seja, quem é o g'(4)? 1/2. Então, você tem que 1/2 vezes h'(3) é igual a 1. Ou seja, o nosso h'(3) vai ser igual a 2 vezes 1, igual a 2, como queremos demonstrar.