Derivadas de funções inversas: a partir de tabela

RKA1JV - Sejam "g" e "h" funções inversas, a tabela a seguir mostra alguns valores de "g", "h" e g'. Ele pede qual é o h' de 3. Em primeiro lugar, vamos saber o que significa uma função inversa. Você tem um conjunto aqui, vamos chamar de domínio e você vai ter um "x" que é a sua partida. E você vai ter um contradomínio que vai formar sua imagem e você tem uma função. Vamos chamar de função "h". Aqui, você vai obter o h(x), se a função é inversa, a função inversa agora vai pegar esse elemento do contradomínio, que agora vai virar o domínio, ou seja, essa imagem vai virar função da função. Portanto, agora, para você voltar ao ponto "x", você aplica uma função "g", que é a função inversa. Se "x" leva h(x), "g" pega h(x) e volta a ser "x". Portanto, "x" é igual a g(h(x)). Essa é a essência de uma função inversa. Então, se nós temos que g(h(x)) é igual a "x", mostrando que ela é uma função inversa, como nós vamos operar pelos valores que nós temos aqui? Nós podemos derivar em relação a "x" de ambos os lados. Derivando em relação a "x" de ambos os lados, nós vamos ter uma derivada de uma função, mas o "x" está dentro de uma função de uma função. Ou seja, você vai ter que usar a regra da cadeia. Para você utilizar a regra da cadeia, talvez a maneira mais fácil de você decorar a regra da cadeia é simplesmente porque a dificuldade está em que você não pode derivar essa função sendo uma função de uma função. Você pode fazer o seguinte: você pode derivar g(h(x)) em relação a dx, desculpa, em relação a dh(x), vezes dh(x)/dx. Então, na hora que você pega e aplica a regra da cadeia, você tem o "d" de g(h(x)), mas está sobre dx. Você não consegue derivar. Agora, você pegou e quebrou essa em duas derivadas, "d" de g(h(x)) / d(h(x)), você pode derivar, se elas são deriváveis, obviamente. Vezes o dh(x)/dx. Ora esse camarada aqui, nada mais é do que g'(h(x)). E esse camarada aqui nada mais é do que h'(x). Voltando para a nossa expressão, nós temos que g'(h(x)) vezes h'(x) é igual a dx/dx, ou seja, a derivada de "x", que vai dar 1, obviamente. Agora, vamos ver, você tem h(x)? Tem, você tem h(x) para "x" igual a 3, ele quer que seja 3. Então, você tem o h(3), você tem, h(3) é 4. Então, você fica com g'(h(3)), vezes h'(3) que você não sabe, é o que você quer saber, é igual a 1. Ora, como o h(3) é 4, você, agora, vai ter o g'(4). Quanto é o g'(4)? g'(4) também foi dado, é 1/2. O g'(4) vezes h'(3) é igual a 1. Ou seja, quem é o g'(4)? 1/2. Então, você tem que 1/2 vezes h'(3) é igual a 1. Ou seja, o nosso h'(3) vai ser igual a 2 vezes 1, igual a 2, como queremos demonstrar.