Diferenciação de funções: encontre o erro

RKA3JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos ver algumas resoluções de derivadas. E vamos ver se elas estão corretas ou incorretas. Primeiro, nós temos a resolução da Elaine. Ela tentou encontrar a derivada desta função. E a resolução da Elaine está correta? Se não, onde está o erro? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente descobrir isso sozinho. Nesta primeira linha, ela só aplicou a derivada em relação a "x" desta função aqui. Aqui tem um produto de funções, então, ela deriva em relação a "x" a primeira função e multiplica pela derivada em relação a "x" da segunda função. Mas isso é um erro, porque nós sabemos que a derivada em relação a "x" de f(x) + g(x) é a mesma coisa que a derivada de f(x) mais a derivada de g(x). Mas o mesmo não vale para o produto. Ou seja, a derivada em relação a "x" de f(x) vezes g(x) é diferente da derivada de f(x) vezes a derivada de g(x). Neste caso, deveríamos aplicar a regra do produto. Portanto, isto aqui não seria verdade, pois a derivada do produto é igual à derivada da primeira função vezes a segunda a função, mais a primeira função vezes a derivada da segunda função. Ou seja, a Elaine deveria aplicar a regra do produto aqui. Vamos fazer isso? Deixe-me apagar tudo isso e vamos resolver da maneira correta. Então, esta parte aqui é cancelada e vamos começar daqui. Esta aqui é a primeira função e a derivada dela é 2x + 5. E multiplicamos pela segunda função, que, neste caso, é o seno de "x". Então, vezes seno de "x". E somamos isso com a primeira função, que é x² + 5x. E multiplicamos pela derivada da segunda a função. E a derivada de seno de "x" é o cosseno de "x". Isto aqui que seria correto nesta etapa aqui. A resolução dela está correta? Não. E por quê? Porque ela deveria ter aplicado a regra do produto nesta parte. Ok, vamos ver mais um exemplo aqui. E, de novo, nós temos uma resolução, só que desta vez temos a Valentina, que tentou encontrar a derivada dessa função. E será que a resolução dela está correta? Se não, onde está o erro? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente encontrar sozinho. Ok, vamos conferir a resolução dela juntos? Note que temos uma função externa, que é o cubo, e uma função interna, que é este 2x² - 4. Isso é um indício que temos que aplicar a regra da cadeia. E como fazemos isso? Pegando a derivada da função de fora, colocando a função de dentro vezes a derivada da função de dentro. Mas o que a Valentina fez aqui foi só a primeira parte. Porque, lembre-se, a derivada em relação a "x" de f(g(x)) é a mesma coisa que a derivada de f(g(x)) vezes a derivada de g(x). Ou seja, esta é a regra da cadeia. Então, nesta primeira linha, nós devemos derivar esta função externa, que é o que está aqui, colocando a função interna. Ou seja, isto aqui é f'(g(x)), mas ainda está faltando multiplicar pela derivada de g(x). Ou seja, multiplicar pela derivada em relação a "x" desta função interna. Então, a resolução da Valentina está errada, porque ela esqueceu de multiplicar pela derivada desta função. E a derivada de 2x² - 4 vai ser, este 2 aqui vem para frente multiplicando o 2. Portanto, vamos ficar com 4x. Então, vezes 4x menos a derivada de 4. E sabemos que a derivada de uma constante é zero. Portanto, vamos ficar somente com 4x. E eu posso até apagar estes parênteses aqui. Então, a Valentina esqueceu de multiplicar todas estas etapas aqui por 4x. O erro dela foi não aplicar corretamente a regra da cadeia. Vamos fazer mais um exemplo? De novo, nós temos a resolução, só que dessa vez foi o Pedro que tentou derivar esta função. E a minha pergunta é: será que a resolução dele está correta? Se não, onde está o erro? Primeiramente, o Pedro aplicou a derivada em relação a "x" da função 7x² + 4x. Depois disso, ele aplicou a regra da cadeia, mas será que foi de forma correta? Vamos lá! A regra da cadeia diz que nós devemos derivar a função de fora, colocando a função de dentro, vezes a derivada da função de dentro. E a derivada do seno é o cosseno. E colocamos aqui a função interna e multiplicamos por uma outra função. Mas será que ela é a derivada desta função? Se eu aplicar a regra do produto, nós vamos ter que este 2 vem para frente multiplicando o 7. E 7 vezes 2 vai ser igual a 14. E neste 4x, como o expoente é 1, vamos jogar 1 para frente do 4 multiplicando e vamos sumir com este "x", ficando com 4. Ou seja, esta etapa o Pedro resolveu de forma correta. Esta parte está correta, mas será que aqui também está? Claro que não. Nesta etapa o Pedro cometeu um erro muito comum. Nós temos estes parênteses aqui indicando que a função cosseno está sendo multiplicada, e não 7x² + 4x. O que ele fez foi aplicar a distributiva aqui, o que está incorreto, porque 14x + 4 está multiplicando toda esta função. E este erro acontece muito quando estamos lidando com funções transcendentes. Ou seja, funções trigonométricas, funções logarítmicas. São erros que muitos estudantes cometem em provas. Você não pode simplesmente multiplicar isso. O Pedro quase acertou, não é? Mas esta etapa está incorreta. Portanto, a resolução dele está incorreta. E o erro foi tentar multiplicar estas duas coisas. Vamos fazer um último exemplo? De novo, nós temos uma resolução. Desta vez do João, que tentou derivar esta função. E a minha pergunta é a mesma. Será que a resolução dele está correta? Se não, onde está o erro? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. Inicialmente, ele aplica a derivada em relação a "x" na função. E note que aqui nós temos uma divisão. E o João pensou o seguinte: espera aí, eu acho que eu posso aplicar a regra do quociente. E foi o que ele fez aqui, mas será que ele acertou? Vamos ver. Aqui nós temos a derivada em relação a "x" do numerador, que neste caso é esta função vezes a função do denominador, que é x⁴, menos a função do numerador, vezes a derivada em relação a "x" da função do denominador, dividido pela função do denominador ao quadrado. E, de fato, está correto! Esta parte o João acertou. É a regra do quociente e a derivada de raiz quadrada de "x" está correta. Vezes x⁴ menos "x" elevado a 0,5, que é a mesma coisa que "x" elevado a 1/2. Isso é uma outra forma de representar a raiz quadrada. Vezes a derivada de x⁴, que é igual a 4x³. E x⁴ elevado ao quadrado é igual a x⁸. Ou seja, o João acertou esta parte também. E o que ele fez aqui? Ele utilizou regras de potência. Por exemplo, em 0,5 vezes "x" elevado a -1/2 vezes x⁴, nós podemos aplicar regras de potência. Nós podemos repetir a base comum, que neste caso é o "x", e somar os expoentes. Então, -0,5 + 4 = 3,5. E ainda tem um 0,5 aqui. Então, vezes 0,5, que é esta parte aqui. E o João fez a mesma coisa com esta parte, ficando com -4x elevado a 3,5 dividido por x⁸. E, claro, aqui o João colocou o "x" elevado a 3,5 em evidência. Ajeitou e dividiu por x⁸. E ficou com isso aqui de forma correta. Ele não cometeu nenhum erro. Mas o João fez todo este cálculo que poderia ser evitado, porque ele poderia simplesmente simplificar esta divisão. Ele poderia escrever a derivada em relação a "x" transformando esta raiz em uma potência. Ficando com "x" elevado a 0,5. E multiplicamos isto invertendo este x⁴, ficando com "x" elevado a -4. E note que nós temos a mesma base. E, por isso, podemos repetir a base e somar os expoentes. Ficando com a derivada em relação a "x" de "x" elevado a -3,5. Ou seja, eu só coloquei isto aqui igual a 0,5, e subtraí por -4. Mas por que fazer deste jeito? Porque aí nós podemos utilizar a regra da potência, que é muito mais fácil. Nós podemos pegar este -3,5 e jogar para frente do "x", ficando com -3,5 vezes "x" elevado a "-3,5 menos 1", que vai dar -4,5. Ou seja, a mesma resposta do João, só que muito mais fácil. Ele não cometeu nenhum erro, mas ele se precipitou um pouco ao utilizar a regra do quociente aqui. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!