Manipulação de funções antes de derivar

RKA3JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer algumas manipulações algébricas que nos ajudam a resolver uma derivada. E nós temos aqui as fórmulas de algumas derivadas. E se você não lembra de uma delas, eu sugiro que você dê uma revisada nestes conteúdos. Eu posso até relembrar aqui. Esta primeira é a regra da potência. Ou seja, quando queremos derivar em relação a "x", algo elevado a uma potência, nós pegamos este expoente e jogamos para frente do "x", ficando com ele aqui. E elevamos este "x" a (n - 1). Esta regra é muito utilizada, principalmente, quando queremos derivar polinômios. E esta segunda é a regra do produto para derivadas. Ou seja, a derivada em relação a "x" de f(x) vezes g(x) é igual à derivada da primeira função, que é f(x) vezes g(x), mais f(x) vezes a derivada da segunda função, que é g(x). Esta terceira é a regra do quociente, que diz que a derivada em relação a "x" de f(x) dividido por g(x) é igual à derivada da função que está no numerador, vezes a função que está no denominador, menos a função que está no numerador, vezes a derivada da função que está no denominador. E nós dividimos isso pela função que está no denominador, elevando ao quadrado. Se você perceber, isto é quase a mesma coisa que está aqui, a diferença está no sinal. E no quociente nós temos uma outra função dividindo aqui. Mas, claro, dependendo da função que você tem aqui, você pode até invertê-la, transformando em um produto. E, assim, fica mais fácil de se calcular. Por fim, nós temos a regra da cadeia. Então, se você não lembra de uma destas regras, eu sugiro que você dê uma revisada, porque o que vamos fazer nesta aula é tentar achar estratégias a fim de facilitá-las. Vamos dizer que nós temos aqui a derivada em relação a "x" de x² + x - 2 / x - 1. E aí, eu te pergunto: quais destas regras nós podemos utilizar para resolver esta derivada? Intuitivamente, você pode pensar: espere aí, aqui eu tenho duas funções que estão se dividindo. Eu tenho esta função f(x) e tenho uma outra função, que eu posso chamar de g(x). O que significa que podemos utilizar a regra do quociente. Sim, eu até posso, eu poderia aplicar esta fórmula aqui na minha derivada e encontraríamos a resposta correta. Mas, desta forma, isto ia demorar muito. O que nós podemos fazer inicialmente é simplificar esta expressão. E o que podemos fazer? Simples, nós podemos fatorar o polinômio x² + x - 2, escrevendo-o como x + 2 que multiplica x - 1. E, com isso, nós podemos cancelar este x - 1 com este x - 1, ficando com a derivada em relação a "x" de x + 2. E, agora, é muito mais fácil derivar esta função. Nós não precisamos mais utilizar a regra do quociente. Ou seja, basta derivar "x" que é igual a 1, mais a derivada de 2, que é zero, ficando apenas com 1. Basicamente, só foi necessário derivar este "x" utilizando a regra da potência. É muito mais fácil do que utilizar esta regra do quociente, não é? Vamos fazer mais um exemplo? Vamos dizer que nós temos aqui a derivada em relação a "x" da função x² + 2x - 5 / x De novo, você pode usar a regra do quociente, mas será que existe alguma manipulação algébrica que podemos fazer aqui de modo que fique mais fácil? Sim, o que você pode fazer é inverter este "x". Com isso, esta expressão pode ser reescrita como x² + 2x - 5 que multiplica "x" elevado a -1. E aí, você pode até utilizar a regra do produto aqui, mas tem uma simplificação ainda melhor. O que você pode fazer é aplicar a distributiva aqui. E aí, vamos ter "x" elevado a -1, que multiplica x², vai ser igual a "x". E "x" elevado a -1 vezes 2x vai ser igual a 2. E "x" elevado a -1 vezes -5 vai ser igual a -5 vezes "x" elevado a -1. Mas, claro, em vez de inverter o "x", você poderia pegar cada um destes termos e dividir pelo "x", ficando com isto aqui. Ou seja, x²/x dá "x". 2x/x dá 2. E -5/x daria -5/x. E aí, sim, nós invertemos ficando com isso aqui. E agora sim, determinar esta derivada fica muito mais fácil do que utilizar a regra do quociente ou a regra da potência. Como isto aqui é uma expressão polinomial, nós podemos derivar cada uma destas partes individualmente. E derivando nós vamos ter que a derivada de "x" é 1, a derivada de 2 vai ser zero. E, nesta parte, nós podemos aplicar a regra da potência. Este expoente que é o -1, vem para frente multiplicando o -5. E aí, vamos ficar com +5 vezes "x" elevado a "-1 - 1", que vai dar -2. E esta é importância de simplificar as coisas, você ganha muito tempo na hora de resolver uma derivada. Vamos ver mais alguns exemplos? Deixe-me apagar isto aqui. E vamos dizer que eu tenha aqui a derivada em relação a "x" de √x / x². E eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. Então, vamos lá! De cara você olha para essa expressão e pensa: eu posso utilizar a regra do quociente, não é? Sim, você pode, mas vai dar muito trabalho. O ideal seria você reescrever esta expressão aqui invertendo este x², ficando com "x" elevado a -2 que multiplica a √x. Aí, é só utilizar a regra do produto aqui. Mas eu acho que ainda podemos simplificar um pouco mais. Note que temos uma raiz quadrada e isso significa que podemos reescrever como "x" elevado a -2 que multiplica "x" elevado 1/2. Ou seja, eu reescrevi a raiz quadrada. E, agora, nós temos uma multiplicação de potências com a mesma base. O que significa que nós devemos repetir a base e somar os expoentes. -2 + 1/2 = -3/2. Agora, sim, podemos resolver a derivada em relação a "x" desta expressão. E olhando para ela, nós podemos utilizar a regra da potência. E aí, vamos ficar com este 3/2 vindo para frente e multiplicando o "x". Ou seja, -3/2 que multiplica "x". E pegamos este expoente e subtraímos de 1 ficando com -5/2. Ou seja, antes de começar resolvendo alguma derivada utilizando uma destas regras, o ideal é ver se tem alguma simplificação. Ou seja, se podemos fatorar algo, se podemos fazer uma simplificação trigonométrica, algo que vai tornar as coisas menos complicadas. A dica que eu te dou é: sempre que for fazer um exercício ou uma prova, principalmente quando estiver utilizando a regra do quociente, dê uma respirada e veja se tem como simplificar as coisas. Por fim, nós vamos fazer um último exemplo, que é resolver a derivada em relação a "x" de 1 sobre 2x - 5. De novo, nós podemos utilizar a regra do quociente, mas será que nós podemos simplificar a expressão? Sim, o que nós podemos fazer é reescrever isto aqui invertendo. Ou seja, colocar a derivada em relação a "x" escrevendo a função como (2x - 5) elevado a -1. E nesta parte você pode utilizar uma combinação da regra da potência e da regra da cadeia. Ou seja, você tem uma função aqui externa e tem esta função aqui que é interna. E aplicando a regra da cadeia, você deve derivar a função de fora colocando a função de dentro e derivando a função de fora. Este -1 vem para frente multiplicando a expressão. Então, vamos ficar com menos, que multiplica (2x - 5) elevado a -2. Isso porque eu fiz (-1 - 1), que é a regra da potência e nós devemos multiplicar pela derivada da função interna. Ou seja, multiplicar pela derivada desta função e a derivada de 2x vai ser 2. E a derivada de -5 é zero. Então, multiplicamos por 2. E você pode até multiplicar este 2 pelo sinal negativo e ajeitar isso aqui um pouco mais. Mas daria muito mais trabalho se você utilizasse a regra do quociente. Eu tinha até falado que era o último exemplo, mas eu vou colocar mais um aqui. Eu juro que é o último. Vamos fazer aqui a derivada em relação a "x" de (2x + 1)². Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. Vamos lá, então! Neste caso, você pode utilizar a regra da cadeia. Ou seja, nós derivamos a função externa pegando este 2 e jogando para frente da função. Então, vamos ficar com 2 que multiplica (2x + 1) elevado a 1. Ou seja, eu fiz esta parte da regra da cadeia combinada com a regra da potência. E multiplicamos isso pela derivada da função interna que, neste caso, é a derivada de 2x + 1. E a derivada disso vai ser 2. Então, vezes 2. E se multiplicarmos 2 vezes 2 vai ser igual a 4. Então, 4 vezes (2x + 1). E podemos aplicar a distributiva aqui. Ficando com 8x + 4. E esta é uma maneira de resolver isso, mas existem outras. Uma delas é expandir esta expressão utilizando produtos notáveis. E aí, vamos ter a derivada em relação a "x" disso aqui ao quadrado, que pode ser resolvido com o produto notável. Ou seja, o quadrado do primeiro termo, que vai dar 4x², mais 2 vezes o primeiro vezes o segundo, que vai dar 4x, mais o segundo ao quadrado, que vai ser igual a 1. Agora, sim, você tem esta expressão e você pode utilizar a regra da potência para resolvê-la. Se você fizer isso, você vai ter este mesmo resultado. Então, de novo, a minha dica é: assim que for resolver uma derivada, dê uma respirada, olhe com calma e veja se você não pode fazer alguma manipulação para tornar a resolução mais fácil. Principalmente, quando estamos utilizando a regra do quociente. Mas eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!