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Explorando a acumulação de variação

Integrais definidas são interpretadas como a acumulação de grandezas. Aprenda por que e como isso pode ser usado para analisar contextos do mundo real.
A integral definida pode ser usada para expressar informações sobre acumulação e variação líquida em contextos práticos. Vamos ver como é isso.

Pensando em acumulação em um contexto real

Digamos que um tanque estivesse enchendo de água a uma taxa constante de 5 L/min (litros por minuto) por 6 min. Podemos encontrar o volume da água (em L) multiplicando o tempo pela taxa:
Volume=Tempo×Taxa=6min5Lmin=30minLmin=30L
Agora considere esse caso graficamente. A taxa pode ser representada pela função constante r1(t)=5:
Cada unidade horizontal no gráfico é medida em minutos e cada unidade vertical é medida em litros por minuto, portanto a área de cada unidade quadrada é medida em litros:
minlarguraLminaltura=Lárea
Além disso, a área do retângulo delimitado pelo gráfico de r1 e o eixo horizontal entre t=0 e t=6 nos dá o volume de água depois de 6 minutos:
Agora, digamos que um outro tanque estivesse enchendo, mas dessa vez a uma taxa não constante:
r2(t)=6sen(0,3t)
Como podemos saber o volume de água neste tanque depois de 6 minutos? Para fazer isso, vamos pensar sobre a aproximação da soma de Riemann da área sob esta curva entre t=0 e t=6. Por conveniência, vamos usar uma aproximação em que cada retângulo tenha 1 minuto de largura.
Vimos como cada retângulo representa um volume em litros. Especificamente, cada retângulo nesta soma de Riemann é uma aproximação do volume de água que foi adicionada ao tanque por minuto. Quando somamos todas as áreas, isto é, quando todos os volumes são acumulados, obtemos uma aproximação do volume total de água depois de 6 minutos.
À medida que usarmos mais retângulos com larguras menores, obteremos uma aproximação melhor. Se levarmos isso a um limite de acúmulo de retângulos infinitos, obteremos a integral definida 06r2(t)dt. Isso significa que o exato volume de água, depois de 6 minutos, é igual à área delimitada pelo gráfico de r2 e o eixo horizontal entre t=0 e t=6.
Sendo assim, o cálculo integral nos permite encontrar o volume total após 6 minutos:
06r2(t)dt24,5L

A integral definida da taxa de variação de uma grandeza fornece a variação líquida dessa grandeza.

No exemplo que vimos, tínhamos uma função que descrevia uma taxa. Em nosso caso, foi a taxa de volume ao longo do tempo. A integral definida daquela função nos deu a acumulação do volume, a grandeza cuja taxa foi dada.
Outra característica importante aqui foi o intervalo de tempo da integral definida. No nosso caso, o intervalo de tempo foi o começo (t=0) e 6 minutos depois em (t=6). Então, a integral definida nos deu a variação líquida na quantidade de água no tanque entre t=0 e t=6.
Essas são as duas maneiras como normalmente pensamos sobre integrais definidas: elas descrevem uma acumulação de uma grandeza, de forma que a integral definida inteira nos dá a variação líquida dessa grandeza.

Porque "variação líquida" na grandeza e não simplesmente a grandeza?

Usando o exemplo acima, note que não sabemos se havia água no tanque antes de t=0. Se o tanque estava vazio, então 06r2(t)dt24,5L é realmente a quantidade de água no tanque após 6 minutos. Mas se o tanque já continha água, digamos, 7 litros de água, então o volume atual de água no tanque após 6 minutos é:
7volume em t=0+06r2(t)dtmudança no volume de t=0 a t=6
Isso é aproximadamente 7+24,5=31,5 L.
Lembre-se: a integral definida sempre nos dá a variação líquida de uma grandeza, não o valor atual da grandeza. Para encontrar o valor atual, devemos adicionar uma condição inicial à integral definida.
Problema 1.A
O conjunto de problemas 1 vai guiá-lo pelo processo de analisar um contexto que envolve acumulação:
No instante t, uma população de bactérias cresce a uma taxa de r(t) gramas por dia, em que t é medido em dias.
Qual são as unidades da grandeza representada pela integral definida 08r(t)dt?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: usar unidades inapropriadas

Como em todos os problemas aplicados, as unidades desempenham um papel importante aqui. Lembre-se que se r é uma função de taxa medida em Grandeza AGrandeza B, então sua integral definida é medida em Grandeza A.
Por exemplo, no problema 1, r foi medida em gramasdia, portanto a integral definida de r foi medida em gramas.
Problema 2
Éder caminhou a uma taxa de r(t) quilômetros por hora (em que t é o tempo em horas).
O que significa 23r(t)dt=6?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: interpretar o intervalo de integração incorretamente

Para qualquer função de taxa r, a integral definida abr(t)dt descreve a acumulação de valores entre t=a e t=b.
Um erro comum é desconsiderar um dos limites (geralmente o inferior), o que resulta em uma interpretação errada.
Por exemplo, no problema 2, seria um erro interpretar 23r(t)dt como a distância que Éder caminhou em 3 horas. O limite inferior é 2, logo 23r(t)dt é a distância que Éder caminhou entre a 2a hora e a 3a hora. Além disso, em casos como esse, em que o intervalo de tempo é de exatamente uma unidade, costumamos dizer "durante a 3a hora."
Problema 3
A receita de Júlia é de r(t) mil reais por mês (em que t é o mês do ano). Júlia havia faturado 3 mil reais no primeiro mês do ano.
O que significa 3+15r(t)dt=19?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: ignorar as condições iniciais

Para uma função de taxa f e uma primitiva F, a integral definida abf(t)dt nos dá a variação líquida em F entre t=a e t=b. Se adicionarmos uma condição inicial, vamos obter um valor atual de F.
Por exemplo, no problema 3, 15r(t)dt representa a mudança na quantia de dinheiro que Júlia ganhou entre o 1o e o 5o mês. Mas, como adicionamos 3, que é a quantia que Júlia tinha no 1o mês, a expressão agora representa a quantia atual no 5o mês.

Conexão com taxas de variação aplicadas

No cálculo diferencial, aprendemos que a derivada f de uma função f dá a taxa de variação instantânea de f para um determinado valor. Agora estamos indo na direção contrária! Para qualquer função de taxa f, sua primitiva F dá o valor acumulado da quantidade cuja taxa é descrita por f.
GrandezaTaxa
Cálculo Diferencialf(x)f(x)
Cálculo integralF(x)=axf(t)dtf(x)
Problema 4
A função k(t) nos dá a quantidade de ketchup (em quilogramas) produzido em uma fábrica de molho no instante t (em horas) de determinado dia.
O que 04k(t)dt representa?
Escolha 1 resposta:

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