Introdução ao cálculo integral

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga. Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos realizar uma introdução ao cálculo integral. Repare que eu tenho uma curva aqui que representa "y = f(x)". Observando esta curva, existe um problema clássico que os matemáticos enfrentam há muito tempo. Como encontramos a área abaixo da curva? Talvez apenas abaixo da curva e acima do eixo "x" e entre dois limites, entre "x = a" e "x = b''. Vamos desenhar esses dois limites aqui? Este é o nosso limite esquerdo e este é o nosso limite direito, e queremos pensar sobre esta área bem aqui. Bem, sem cálculo, como você faria a melhor aproximação possível para esta área? Olha, você pode dividir esta sessão em vários pedacinhos Δx, que vão de "a" a "b". Essas sessões podem ser iguais ou não. Mas só para gente visualizar isso aqui legal, vamos dizer que eu vou desenhar essas sessões aproximadamente iguais. Então essa daqui vai ser a nossa primeira sessão, essa vai ser a segunda, esta vai ser a terceira, esta a quarta, esta a quinta, e aí temos nossa sexta sessão bem aqui. Vamos dar nomes a essas sessões? Este Δx aqui nós vamos chamar de Δx₁, este de Δx₂. Este aqui será Δx₃. Aí vamos fazer isso ao longo de todo o nosso caminho até Δxₙ. Olha, eu vou tentar ser generalista aqui. Então, o que podemos fazer é tentar resumir a área dos retângulos que nós definimos aqui, beleza? Em relação à altura, podemos fazer com base no valor da função no limite direito. Não precisa ser assim, pode ser o valor da função em qualquer lugar ao longo desse Δx. Mas essa é uma solução. Não vamos nos aprofundar muito nisso aqui agora, a gente vai fazer isso em vídeo os futuros. Agora, temos uma aproximação onde poderíamos dizer: olha, a área de cada um desses retângulos vai ser f(xᵢ), onde talvez xᵢ seja o limite direito, do jeito que eu desenhei, vezes Δxᵢ. Então isso é cada um desses retângulos. Aí podemos somá-los, então eu vou fazer um somatório aqui. Isso nos daria uma aproximação para a área, mas como usamos um número finito, podemos melhorar isso tornando Δx menor. Aí com isso, teremos mais retângulos. Assim, nós vamos fazer o somatório de ''i = 1" até chegar a "n". Mas uma coisa legal, é que se a gente diminuir o Δx, ele vai ficar cada vez mais e mais fino, e aí com isso, o "n" vai ficar cada vez maior. Assim, à medida que o Δx fica infinitesimalmente pequeno, "n" vai se aproximar do infinito. Provavelmente, você está sentindo algo agora, não é? Isso está com cara de limite, certo? Sendo assim, podemos dizer que temos um limite de "n" tendendo ao infinito ou o limite de Δx tornando-se muito, muito, muito pequeno. E essa noção de obter melhores aproximações, tomando o limite com "n" se aproximando do infinito, é a ideia central do cálculo integral. Isso é chamado de cálculo integral porque a operação central que usamos foi a soma de um número infinito de coisas infinitesimalmente pequenas. Uma forma de visualizar isso é colocando o símbolo de integral, que neste caso vai de "a" até "b". Ah, nós vamos aprender isso mais profundamente depois, mas neste caso, isso daqui é uma integral definida de f(x)dx. A gente pode fazer alguns paralelos aqui. Você pode ver o símbolo de integral como a notação Σ, o símbolo de somatório. Mas em vez de realizar a soma de um número discreto de coisas, você está realizando a soma de um número infinito de coisas infinitamente finas, por isso, em vez de Δx, agora você tem "dx", que são coisas infinitesimalmente pequenas. E essa é uma noção de integral. Isto aqui é uma integral. Agora, o que torna o cálculo interessante é usar essa noção de limite. Mas o que torna ainda mais poderoso está conectado com a noção de uma derivada, que é uma dessas coisas lindas da matemática. Como a gente vai ver no teorema fundamental do cálculo, essa integração, a noção de uma integral, está intimamente ligada à noção de uma derivada, na verdade, a noção de uma antiderivada. No cálculo diferencial, nós podemos olhar para uma função e determinar sua derivada, assim, encontraremos a derivada dessa função. Mas também, podemos olhar para a derivada de uma função, e no cálculo integral nós vamos fazer isso, nós vamos pegar a derivada de uma função e através da integral, descobrir a antiderivada, ou ainda, a função que tem essa derivada. Como a gente vai ver, tudo isso está relacionado, a ideia da área abaixo de uma curva, a ideia de um limite de somar um infinito número de coisas infinitamente pequenas e a noção de uma antiderivada. Tudo isso vem junto em nossa jornada no cálculo integral. Enfim, meu amigo minha ou amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo o que a gente conversou aqui, e quero deixar aqui para você um grande abraço e falar que te encontro na próxima!