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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 6
Lição 1: Explorando a acumulação de variaçãoIntrodução ao cálculo integral
A ideia básica do cálculo Integral é calcular a área sob uma curva. Para fazer isso com precisão, podemos dividir a área em infinitos retângulos de largura infinitamente pequena e somar suas áreas — o cálculo é ótimo para lidar com coisas infinitas! Essa ideia é na verdade muito rica, e também está fortemente relacionada ao cálculo diferencial, como você verá nos próximos vídeos.
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- essa introdução é maravilhosa, utilizarei ela como base para ensinar alguns colegas meus.(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga.
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos realizar uma
introdução ao cálculo integral. Repare que eu tenho uma curva
aqui que representa "y = f(x)". Observando esta curva, existe um problema clássico que
os matemáticos enfrentam há muito tempo. Como encontramos a área abaixo da curva? Talvez apenas abaixo da curva
e acima do eixo "x" e entre dois limites,
entre "x = a" e "x = b''. Vamos desenhar esses dois limites aqui? Este é o nosso limite esquerdo
e este é o nosso limite direito, e queremos pensar sobre
esta área bem aqui. Bem, sem cálculo, como você faria a melhor aproximação
possível para esta área? Olha, você pode dividir esta sessão
em vários pedacinhos Δx, que vão de "a" a "b". Essas sessões podem ser iguais ou não. Mas só para gente visualizar
isso aqui legal, vamos dizer que eu vou desenhar
essas sessões aproximadamente iguais. Então essa daqui vai ser
a nossa primeira sessão, essa vai ser a segunda, esta vai ser a terceira, esta a quarta,
esta a quinta, e aí temos nossa sexta sessão bem aqui. Vamos dar nomes a essas sessões? Este Δx aqui nós vamos chamar de Δx₁, este de Δx₂. Este aqui será Δx₃. Aí vamos fazer isso ao longo
de todo o nosso caminho até Δxₙ. Olha, eu vou tentar ser generalista aqui. Então, o que podemos fazer é tentar
resumir a área dos retângulos que nós definimos aqui, beleza? Em relação à altura, podemos fazer com
base no valor da função no limite direito. Não precisa ser assim, pode ser o valor da função em
qualquer lugar ao longo desse Δx. Mas essa é uma solução. Não vamos nos aprofundar
muito nisso aqui agora, a gente vai fazer isso
em vídeo os futuros. Agora, temos uma aproximação
onde poderíamos dizer: olha, a área de cada um desses
retângulos vai ser f(xᵢ), onde talvez xᵢ seja o limite direito, do jeito que eu desenhei, vezes Δxᵢ. Então isso é cada um desses retângulos. Aí podemos somá-los, então eu
vou fazer um somatório aqui. Isso nos daria uma
aproximação para a área, mas como usamos um número finito, podemos melhorar isso tornando Δx menor. Aí com isso, teremos mais retângulos. Assim, nós vamos fazer
o somatório de ''i = 1" até chegar a "n". Mas uma coisa legal, é que
se a gente diminuir o Δx, ele vai ficar cada vez mais e mais fino, e aí com isso, o "n"
vai ficar cada vez maior. Assim, à medida que o Δx
fica infinitesimalmente pequeno, "n" vai se aproximar do infinito. Provavelmente, você está sentindo
algo agora, não é? Isso está com cara de limite, certo? Sendo assim, podemos dizer
que temos um limite de "n" tendendo ao infinito ou o limite de Δx tornando-se muito, muito, muito pequeno. E essa noção de obter
melhores aproximações, tomando o limite com "n"
se aproximando do infinito, é a ideia central do cálculo integral. Isso é chamado de cálculo integral porque a operação central que usamos foi a soma de um número infinito
de coisas infinitesimalmente pequenas. Uma forma de visualizar isso é colocando o símbolo de integral,
que neste caso vai de "a" até "b". Ah, nós vamos aprender isso
mais profundamente depois, mas neste caso, isso daqui é uma
integral definida de f(x)dx. A gente pode fazer alguns paralelos aqui. Você pode ver o símbolo de integral
como a notação Σ, o símbolo de somatório. Mas em vez de realizar a soma
de um número discreto de coisas, você está realizando a soma de um número
infinito de coisas infinitamente finas, por isso, em vez de Δx,
agora você tem "dx", que são coisas infinitesimalmente
pequenas. E essa é uma noção de integral. Isto aqui é uma integral. Agora, o que torna o cálculo interessante é usar essa noção de limite. Mas o que torna ainda mais poderoso está
conectado com a noção de uma derivada, que é uma dessas coisas
lindas da matemática. Como a gente vai ver no
teorema fundamental do cálculo, essa integração, a noção de uma integral, está intimamente ligada
à noção de uma derivada, na verdade, a noção de uma antiderivada. No cálculo diferencial, nós podemos olhar para uma
função e determinar sua derivada, assim, encontraremos
a derivada dessa função. Mas também, podemos olhar
para a derivada de uma função, e no cálculo integral
nós vamos fazer isso, nós vamos pegar a derivada de uma função e através da integral, descobrir a antiderivada, ou ainda, a função
que tem essa derivada. Como a gente vai ver,
tudo isso está relacionado, a ideia da área abaixo de uma curva, a ideia de um limite de somar um infinito
número de coisas infinitamente pequenas e a noção de uma antiderivada. Tudo isso vem junto em nossa
jornada no cálculo integral. Enfim, meu amigo minha ou amiga, eu espero que você tenha compreendido
tudo o que a gente conversou aqui, e quero deixar aqui para
você um grande abraço e falar que te encontro na próxima!