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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 6
Lição 12: Integração de funções usando divisão longa e o método de completar quadradosIntegração usando divisão longa
Aqui realizamos uma divisão polinomial longa para tornar uma integral mais fácil de calcular.
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- Que divisão confusa, não entendi nada(12 votos)
- Ele confunde numerador com denominador, dividir o denominador pelo numerador e depois dividir o numerador pelo denominador... ficou meio confuso mesmo.(4 votos)
Transcrição de vídeo
RKA14C Veja se você consegue resolver
esta integral aqui. Bom, assumindo que você já tentou,
agora vamos trabalhar juntos. Você provavelmente percebeu que algumas das
técnicas tradicionais que já usamos em nossa
caixa de ferramentas não são diretamente aplicáveis, como a substituição em u
ou outras. A chave é perceber que temos
uma expressão racional em que o numerador tem o mesmo
ou maior grau que o denominador. Neste caso, o numerador e
o denominador têm o mesmo grau. Toda vez que você vê algo assim
é provavelmente uma boa ideia dividir o denominador
pelo numerador. Esta expressão racional
pode ser interpretada como: x - 5 dividido
por -2x + 2. É uma divisão algébrica
um pouco longa. Vamos dividir -2x + 2
por x - 5 para reescrever isso de um jeito
que possamos analisar a integral. Então, vamos lá! Agora, vamos pegar o x - 5 e dividir -2x + 2 por ele. Olha o termo com maior grau: quantas vezes -2x cabe em x? Vamos ter
-1/2 vezes 2, é -1. -1/2 vezes -2
vai ser igual a x. Simples assim. Agora, vamos subtrair esta expressão
amarela pela expressão azul. Vou pegar o negativo daqui e adicionar. Teremos -5 + 1, que é igual a -4. Então, como acabamos de ver, -2x + 2 dividido por x - 5 é igual a -1/2,
com 4 de resto. Nós podemos reescrever
essa integral original como: -1/2 menos 4 sobre -2x + 2, tudo vezes dx. Parece que podemos simplificar
essa expressão pouco mais. O numerador e o denominador, ambos são indivisíveis por 2. Todos esses termos
são indivisíveis por dois. E temos todos esses negativos que são
sempre complicações desnecessárias. Então, vamos dividir o numerador
e o denominador por -2. O que teremos? Dividindo o numerador por -2, se isto é -4,
então isto será +2. Se dividirmos -2x
por -2, isto será apenas x. Logo, 2 ÷ (-2) = -1. Isso é apenas álgebra. Tudo que fizemos
foi só com álgebra. Apenas reescrevemos a expressão
usando um pouco de álgebra. Nossa integral original
foi simplificada até -1/2... Alguns podem argumentar
que isso não foi simplificado, mas, na verdade, é uma forma
mais útil de encontrar a integral. -1/2 mais 2 sobre x - 1,
tudo vezes dx. Agora, como nós podemos resolver isso? Bom, a derivada inteira de -1/2
é bem direta. Então, a derivada de -1/2
vai ser -1/2x. Isso mais a derivada de
2 sobre x - 1. A derivada de x - 1
é apenas 1. Então, você pode dizer que
a derivada está à toa ali. Podemos usar a substituição
em u mentalmente. Se pegarmos a derivada inteira
em relação a x - 1, vai ser o logaritmo
do valor absoluto de x - 1. Se tudo isso parece confuso, deixarei que você faça
a substituição em u. Se eu estivesse apenas tentando
resolver a integral de 2 sobre x - 1
vezes dx, eu poderia ver... Ok, a derivada de x - 1
é apenas 1. Então, poderia dizer
que u = x - 1. Então, du = dx. Bom, podemos reescrever isso
em termos de u. Então, vai ficar:
2 vezes a integral de 1 sobre u, tudo isso vezes du, que sabemos que é 2 vezes
o logaritmo natural do valor absoluto de u + c. E, neste caso, nós sabemos
que u vai ser igual a x - 1. Então, isso é igual a:
2 vezes ln| x - 1| + c. Isso é o que temos bem aqui, mais 2 vezes o logaritmo natural
do valor absoluto de x - 1 + c. Esse +c não vem deste termo. Em geral, pegaremos toda a integral. Isso poderia ser alguma constante, porque resolvemos de outra maneira, calculamos a derivada
e a constante some. Então, deixe-me colocar +c aqui. E acabamos!