Integração usando divisão longa

RKA14C Veja se você consegue resolver esta integral aqui. Bom, assumindo que você já tentou, agora vamos trabalhar juntos. Você provavelmente percebeu que algumas das técnicas tradicionais que já usamos em nossa caixa de ferramentas não são diretamente aplicáveis, como a substituição em u ou outras. A chave é perceber que temos uma expressão racional em que o numerador tem o mesmo ou maior grau que o denominador. Neste caso, o numerador e o denominador têm o mesmo grau. Toda vez que você vê algo assim é provavelmente uma boa ideia dividir o denominador pelo numerador. Esta expressão racional pode ser interpretada como: x - 5 dividido por -2x + 2. É uma divisão algébrica um pouco longa. Vamos dividir -2x + 2 por x - 5 para reescrever isso de um jeito que possamos analisar a integral. Então, vamos lá! Agora, vamos pegar o x - 5 e dividir -2x + 2 por ele. Olha o termo com maior grau: quantas vezes -2x cabe em x? Vamos ter -1/2 vezes 2, é -1. -1/2 vezes -2 vai ser igual a x. Simples assim. Agora, vamos subtrair esta expressão amarela pela expressão azul. Vou pegar o negativo daqui e adicionar. Teremos -5 + 1, que é igual a -4. Então, como acabamos de ver, -2x + 2 dividido por x - 5 é igual a -1/2, com 4 de resto. Nós podemos reescrever essa integral original como: -1/2 menos 4 sobre -2x + 2, tudo vezes dx. Parece que podemos simplificar essa expressão pouco mais. O numerador e o denominador, ambos são indivisíveis por 2. Todos esses termos são indivisíveis por dois. E temos todos esses negativos que são sempre complicações desnecessárias. Então, vamos dividir o numerador e o denominador por -2. O que teremos? Dividindo o numerador por -2, se isto é -4, então isto será +2. Se dividirmos -2x por -2, isto será apenas x. Logo, 2 ÷ (-2) = -1. Isso é apenas álgebra. Tudo que fizemos foi só com álgebra. Apenas reescrevemos a expressão usando um pouco de álgebra. Nossa integral original foi simplificada até -1/2... Alguns podem argumentar que isso não foi simplificado, mas, na verdade, é uma forma mais útil de encontrar a integral. -1/2 mais 2 sobre x - 1, tudo vezes dx. Agora, como nós podemos resolver isso? Bom, a derivada inteira de -1/2 é bem direta. Então, a derivada de -1/2 vai ser -1/2x. Isso mais a derivada de 2 sobre x - 1. A derivada de x - 1 é apenas 1. Então, você pode dizer que a derivada está à toa ali. Podemos usar a substituição em u mentalmente. Se pegarmos a derivada inteira em relação a x - 1, vai ser o logaritmo do valor absoluto de x - 1. Se tudo isso parece confuso, deixarei que você faça a substituição em u. Se eu estivesse apenas tentando resolver a integral de 2 sobre x - 1 vezes dx, eu poderia ver... Ok, a derivada de x - 1 é apenas 1. Então, poderia dizer que u = x - 1. Então, du = dx. Bom, podemos reescrever isso em termos de u. Então, vai ficar: 2 vezes a integral de 1 sobre u, tudo isso vezes du, que sabemos que é 2 vezes o logaritmo natural do valor absoluto de u + c. E, neste caso, nós sabemos que u vai ser igual a x - 1. Então, isso é igual a: 2 vezes ln| x - 1| + c. Isso é o que temos bem aqui, mais 2 vezes o logaritmo natural do valor absoluto de x - 1 + c. Esse +c não vem deste termo. Em geral, pegaremos toda a integral. Isso poderia ser alguma constante, porque resolvemos de outra maneira, calculamos a derivada e a constante some. Então, deixe-me colocar +c aqui. E acabamos!